Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутку y=⅓x³+½x²-2x-⅓ если x э [-2;2] Помогите буду благодарен

Answer 1

Дана функция y=⅓x³+½x²-2x-⅓.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-2;2].

Находим производную функции:
y' = x² +x - 2 и приравняем её нулю.
x² +x - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;x_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.
Получили 2 критические точки и 3 промежутка монотонности функции..
Находим знаки производной на этих промежутках:
x =      -3       -2       0       1        2
y' =      4        0       -2       0       4.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -2 максимум функции у = 3,
в точке х =  1 минимум функции у = -1,5.
Проверяем значение функции в точке х = 2.
у = (1/3)*8 + (1/2)*4 - 2*2 - (1/3) = 0,333333.
Остаются выделенные значения как максимум и минимум на промежутке [-2; 2].

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y на данном промежутке [-2; 2], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции (то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует).
2. Проверить значения функции в этих критических точках и на концах интервала.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (⅓x³ + ½x² - 2x - ⅓) y' = x² + x - 2

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: x² + x - 2 = 0

Для решения квадратного уравнения можно использовать дискриминант: D = b² - 4ac D = 1² - 4 * 1 * (-2) D = 1 + 8 D = 9

Из дискриминанта D > 0, значит, у нас есть два различных корня: x₁ = (-b + √D) / 2a x₁ = (-1 + √9) / 2 x₁ = (-1 + 3) / 2 x₁ = 1

x₂ = (-b - √D) / 2a x₂ = (-1 - √9) / 2 x₂ = (-1 - 3) / 2 x₂ = -2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -2.

3. Теперь найдем значения функции y в критических точках и на концах интервала: Для x = -2: y = ⅓(-2)³ + ½(-2)² - 2(-2) - ⅓ y = ⅓(-8) + ½(4) + 4 - ⅓ y = -8/3 + 2 + 4 - ⅓ y = 2⅔

   Для x = 1: y = ⅓(1)³ + ½(1)² - 2(1) - ⅓ y = ⅓ + ½ - 2 - ⅓ y = 0

   Для x = 2: y = ⅓(2)³ + ½(2)² - 2(2) - ⅓ y = ⅓(8) + ½(4) - 4 - ⅓ y = 8/3 + 2 - 4 - ⅓ y = ⅔

Таким образом, на данном промежутке функция y принимает следующие значения:

Наименьшее значение: y = 0 при x = 1. Наибольшее значение: y = 2⅔ и y = ⅔ при x = -2 и x = 2, соответственно.

Итак, наименьшее значение функции на промежутке [-2; 2] равно 0, а наибольшее значение равно 2⅔ (при x = -2) и ⅔ (при x = 2).