Question

Найдите точку минимума функции f(x)=x³+x²-5x+4

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. В точке минимума производная меняет свой знак с отрицательного на положительный.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x³ + x² - 5x + 4) f'(x) = 3x² + 2x - 5

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x² + 2x - 5 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант (D), который определен как D = b² - 4ac. В уравнении ax² + bx + c = 0, у нас a = 3, b = 2, c = -5.

D = 2² - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня.

3. Найдем корни уравнения: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₁ = (-2 + √64) / (2 * 3) x₁ = (-2 + 8) / 6 x₁ = 6 / 6 x₁ = 1

   x₂ = (-b - √D) / (2a) x₂ = (-2 - √64) / (2 * 3) x₂ = (-2 - 8) / 6 x₂ = -10 / 6 x₂ = -5/3 ≈ -1.67

4. Теперь, чтобы определить, где функция имеет точку минимума, нужно проверить знак производной в окрестностях найденных корней.

   a) В интервале x < -5/3, производная f'(x) < 0, то есть функция убывает. b) В интервале -5/3 < x < 1, производная f'(x) > 0, то есть функция возрастает. c) В интервале x > 1, производная f'(x) > 0, то есть функция также возрастает.

Таким образом, функция f(x) убывает на интервале (-∞, -5/3) и возрастает на интервалах (-5/3, 1) и (1, +∞).

Точка минимума функции находится при x = 1. Теперь найдем соответствующее значение y:

f(1) = 1³ + 1² - 5 * 1 + 4 f(1) = 1 + 1 - 5 + 4 f(1) = 1

Таким образом, точка минимума функции f(x) равна (1, 1).