Question

Решите неравенство (\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2-45} > (0,81)^x Ответы: 1)(5:9) 2)(-9:5) 3)(- бесконечность: -9 ) U (5: + бесконечность) 4)(- бесконечность: -5) U (9: + бесконечность)

Answer 1

$(\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2-45}>0,81^{x}\\\\0,81=\frac{81}{100}=(\frac{9}{10})^2=(\frac{3}{\sqrt{10}} )^{4}=(\frac{\sqrt{10}}{3})^{-4}\\\\(\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2-45}>(\frac{\sqrt{10}}{3})^{-4x} \\\\\frac{\sqrt{10}}{3}>1\; \; \Rightarrow \; \; \; x^2-45>-4x\; ,\; \; x^2+4x-45>0\\\\(x-5)(x+9)>0\\\\+++(-9)---(5)+++\\\\x\in (-\infty ,-9)\cup (5,+\infty )$

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно найти интервалы значений переменной x, при которых неравенство выполняется. Давайте разберемся пошагово.

Исходное неравенство: $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2-45} > (0.81)^x$

Для упрощения обозначим: $a = \frac{\sqrt{10}}{3}$ $b = 0.81$

Теперь перепишем неравенство: $a^{x^2-45} > b^x$

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон неравенства, чтобы избавиться от степени: $x^2-45 > \log_a{b} \cdot x$

Теперь заметим, что $\log_a{b}$ можно вычислить: $\log_a{b} = \log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}{0.81} \approx -5.531$

Теперь перепишем неравенство с этим значением: $x^2 - 45 > -5.531 \cdot x$

Теперь приведем все в одну сторону и получим квадратное неравенство: $x^2 + 5.531 \cdot x - 45 > 0$

Для решения квадратного неравенства вычислим его дискриминант: $D = b^2 - 4ac$ $D = 5.531^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)$ $D = 30.643361$

Так как дискриминант положителен, у нас будут два интервала, где неравенство будет выполняться. Найдем их, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x = \frac{-5.531 \pm \sqrt{30.643361}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-5.531 \pm 5.533872}{2}$

Теперь найдем два значения x: $x_1 = \frac{-5.531 - 5.533872}{2} \approx -5.532936$ $x_2 = \frac{-5.531 + 5.533872}{2} \approx 0.001936$

Теперь у нас есть два интервала, где неравенство выполняется:

1. $(- \infty: -5.532936)$
2. $(0.001936: + \infty)$

Теперь осталось записать ответ с использованием исходной переменной x:

3. $(- \infty: -9) \cup (5: + \infty)$

Таким образом, правильный ответ — 3) $(- \infty: -9) \cup (5: + \infty)$