Question

Найти решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям y'''=(sin^2)x y(0)=5 y'(0)=1,8 y''(0)=0

Answer 1

Делается обычным интегрированием

$y''=\int {sin^2(x)} \, dx =\int {\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx =\int {\frac{dx}{2}}-\frac{1}{2} \int {cos(2x)} \, dx=\\ =\frac{x}{2} -\frac{sin(2x)}{4} +C1$

$y'=\int {(\frac{x}{2}-\frac{sin(2x)}{4}+C1)} \, dx =\frac{x^2}{4} +\frac{cos(2x)}{8} +C1*x+C2$

$y=\int {(\frac{x^2}{4}+\frac{cos(2x)}{8}+C1x+C2)} \, dx=\frac{x^3}{12} +\frac{sin(2x)}{16} +\frac{C1}{2}*x^2+C2x+C3$

Решаем задачу Коши с начальным условием

$y(0)=\frac{0}{12}+\frac{sin(0)}{16}+C1*0+C2*0+C3=C3=5$

$y'(0)=\frac{0}{4} +\frac{cos(0)}{8} +0+C2=\frac{1}{8} +C2=1,8=\frac{9}{5};C2=\frac{9}{5} -\frac{1}{8} =\frac{67}{40}$

$y''(0)=\frac{0}{2} -\frac{sin(0)}{4} +C1=C1=0$

$y=\frac{x^3}{12} +\frac{sin(2x)}{16}+\frac{67}{40}*x+5$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y''' = sin^2(x)

А также начальные условия:

y(0) = 5 y'(0) = 1.8 y''(0) = 0

Для решения данного дифференциального уравнения и нахождения частного решения, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем общее решение дифференциального уравнения:

Для этого найдем первообразную для обеих сторон уравнения:

∫y''' dx = ∫sin^2(x) dx

Интегрируем обе стороны:

y'' = ∫sin^2(x) dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx = (1/2)∫(1 - cos(2x)) dx = (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь найдем второобразную:

y' = (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C1 + C2

Наконец, найдем общее решение:

y = ∫((1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C1 + C2) dx = (1/4)(x^2 - 2xsin(2x) + 2cos(2x)) + C1x + C2x + C3

где C1, C2 и C3 - постоянные интегрирования.

Шаг 2: Применим начальные условия для нахождения частного решения.

Используем условие y(0) = 5:

5 = (1/4)(0 - 2(0)sin(20) + 2cos(20)) + C10 + C20 + C3 5 = (1/4)(2) + C3 C3 = 20/4 - 2/4 C3 = 18/4 C3 = 4.5

Используем условие y'(0) = 1.8:

1.8 = (1/2)((0) - (1/2)sin(20)) + C1 + C20 1.8 = 0 + C1 C1 = 1.8

Используем условие y''(0) = 0:

0 = (1/2)((0) - (1/2)sin(2*0)) + 1.8 + C2 0 = 0 + 1.8 + C2 C2 = -1.8

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

y = (1/4)(x^2 - 2xsin(2x) + 2cos(2x)) + 1.8x - 1.8x + 4.5

Упростим это выражение:

y = (1/4)(x^2 - 2xsin(2x) + 2cos(2x)) + 4.5

Это и есть решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 5, y'(0) = 1.8 и y''(0) = 0.