Question

Найдите сумму квадратов корней уравнения 3 в степени х^2-5=9 в степени ^-2х

Answer 1

Решение на фото внизу. Ответ 26

Answer 2

Для начала, перепишем уравнение, чтобы более ясно видеть, что нужно найти:

$3x^2 - 5 = \frac{9}{x^2}$

Теперь найдем корни этого уравнения. Для этого сначала приведем его к квадратному уравнению:

$3x^4 - 5x^2 - 9 = 0$

Заметим, что здесь у нас квадратное уравнение относительно $x^2$. Проведем замену $y = x^2$, тогда уравнение примет следующий вид:

$3y^2 - 5y - 9 = 0$

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где у нас $a = 3$, $b = -5$, и $c = -9$. Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 25 + 108 = 133$

Так как дискриминант положителен, у нас два действительных корня $y_1$ и $y_2$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{133}}{6}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{133}}{6}$

Теперь найдем значения $x$ (корней исходного уравнения) как корень из $y_1$ и $y_2$:

$x_1 = \sqrt{y_1} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{133}}{6}}$

$x_2 = \sqrt{y_2} = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{133}}{6}}$

Теперь мы можем найти сумму квадратов корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(\sqrt{\frac{5 + \sqrt{133}}{6}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{5 - \sqrt{133}}{6}}\right)^2$

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{5 + \sqrt{133}}{6} + \frac{5 - \sqrt{133}}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$