Question

Теорема косинусов доказать

Answer 1

1) Для остроугольного треугольника.
Пусть AB = b, BC = a, AC = c.
Проведем высоту AD к стороне BC.
AD = b*sinB, BD = b*cosB,
CD = a - b*cosB.
По теореме Пифагора:
AC^2 = AD^2 + CD^2 = (bsinB)^2 + (a - bcosB)^2 = b^2sin^2 B + a^2 - 2abcosB + b^2cos^2 B = b^2*(sin^2 B + cos^2 B) + a^2 - 2abcosB = a^2 + b^2 - 2abcosB, ч.т.д.

2) Для тупоугольного треугольника:
Пусть AC = a, AB = b, BC = c, угол BAC = a.
Проведем высоту BD к стороне AC, BD = h.
BD = b*sinBAD = b*sin(180° - a) = b*sina
AD = b*cosBAD = b*cos(180° - a) = -b*cosa
CD = a - b*cosa
По теореме Пифагора:
CD^2 + BD^2 = BC^2
BC^2 = b^2*sin^2(a) + (a - b*cosa)^2 = b^2*sin^2(a) + a^2 - 2ab*cosa + b^2*cos^2(a) = b^2*(sin^2(a) + cos^2(a)) + a^2 - 2ab*cosa = a^2 + b^2 - 2ab*cosa, ч.т.д.

Answer 2

Конечно! Докажем теорему косинусов для произвольного треугольника ABC. Теорема косинусов связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов. Формулировка теоремы косинусов:

В треугольнике ABC с длинами сторон a, b и c и углами α, β и γ (противолежащими сторонам a, b и c соответственно) выполняется следующее равенство:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

Теперь давайте докажем эту теорему:

Пусть у нас есть треугольник ABC с длинами сторон a, b и c и углами α, β и γ.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, где D — это точка на стороне BC перпендикулярно стороне AB. Тогда стороны этого треугольника равны:

AD = b * cos(γ) (по определению косинуса угла) BD = b * sin(γ) (по определению синуса угла)

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, где C — это точка на стороне AB перпендикулярно стороне AC. Стороны этого треугольника равны:

AC = a - BD = a - b * sin(γ) (так как BD = b * sin(γ)) DC = b * cos(γ) (по определению косинуса угла)

3. Применим теорему Пифагора к треугольнику ADC:

AC^2 + DC^2 = AD^2 (a - b * sin(γ))^2 + (b * cos(γ))^2 = (b * cos(γ))^2

4. Разрешим уравнение:

a^2 - 2ab * sin(γ) + b^2 * sin^2(γ) + b^2 * cos^2(γ) = b^2 * cos^2(γ)

5. Заменим sin^2(γ) + cos^2(γ) на 1 (тождество тригонометрии) и упростим:

a^2 - 2ab * sin(γ) + b^2 = b^2 * cos^2(γ) a^2 + b^2 - 2ab * sin(γ) = b^2 * cos^2(γ)

6. Теперь заметим, что sin(γ) = sin(180° - γ), и cos(180° - γ) = -cos(γ) (синус дополнения и косинус дополнения угла). Заменим sin(γ) на sin(180° - γ) и cos^2(γ) на -cos(γ):

a^2 + b^2 - 2ab * sin(γ) = b^2 * (-cos(γ)) a^2 + b^2 - 2ab * sin(γ) = -b^2 * cos(γ)

7. Прибавим b^2 * cos(γ) к обеим сторонам уравнения:

a^2 + b^2 - 2ab * sin(γ) + b^2 * cos(γ) = 0

8. Заметим, что левая часть уравнения и есть c^2 (по теореме Пифагора для треугольника ABC):

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * sin(γ)

9. Теперь заменим sin(γ) на cos(γ) в последнем выражении, используя синус дополнения:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

Таким образом, мы получили теорему косинусов для треугольника ABC.