Question

Найдите наименьшее значение функции у= 1 / (-х²+ах-3) , если график этой функции проходит через точку М (4; - 1/11)

Answer 1

Я приведу подробное решение. Для начала нужно найти значение переменной 'а', ведь не зря нам сообщили, что график функции проходит через точку М(4; -1/11), где 4 это x координата, а -1/11 это y координата точки М. То, что график проходит через точку М, значит, что если подставить в функцию вместо x 4, то y будет равен -1/11. Подставляем 4 вместо x, а -1/11 вместо y в функцию и выразим оттуда 'a'.
-1/11 = 1/(-4+а*4-3) далее по свойству пропорции(произведение крайних членов равны произведению средних)
-1*(-4+а*4-3) = 11*1
-(4а-19) = 11 теперь раскроем скобку в левой части выражения, изменив все знаки в скобке на противоположные
-4а+19 = 11 переносим 19 в правую часть с противоположным знаком
-4а = 11-19
-4а = -8
а = -8/-4 минус на минус даёт плюс
а = 2
Теперь у нас есть а. Т.к. нам нужно найти наименьшее значение функции, а функция представлена в виде дроби, то вспомним, что уменьшить дробь можно либо уменьшив числитель, либо увеличив знаменатель, но т.к. числитель зафиксирован, то нам нужно понять, когда знаменатель достигает наибольшего значения.
Знаменатель в нашем случае - это парабола ветви которй направлены вниз, т.к. коэффициент при x² отрицательный(-1), поэтому наибольшая точка у этой параболы - это её вершина(т.к. ветви уходят бесконечно вниз).
Найдём координаты вершины параболы знаменателя -x²+2x-3, сначала найдём x по формуле
x = -b/2a, где b=2, а=-1;
x = -2/(2*-1)
x = -2/-2
х = 1
Теперь подставив 1 в -х²+2x-3, найдём у координату вершины, тоесть наибольшее значение функции(наибольшее значения нашего знаменателя)
y = -1² + 2*1 -3
y = -1 +2 -3
y = -2
Теперь мы знаем, что максимальное значение знаменателя это -2, поэтому несложно вычислить минимальное значение всей дроби, подставив -2 в качестве знаменателя, отсюда 1/-2 = -1/2, это и есть наименьшее значение функции.

Answer 2

Для найти наименьшее значение функции у = 1 / (-х² + ах - 3), когда её график проходит через точку М(4; -1/11), нужно найти значение параметра "а", при котором функция достигает минимума в данной точке.

Когда функция достигает минимума, производная функции равна нулю. Поэтому начнем с нахождения производной данной функции:

y = 1 / (-х² + ах - 3)

Для удобства обозначим знаменатель функции за D:

D = -х² + ах - 3

Тогда функция выглядит как:

y = 1 / D

Теперь найдем производную функции y по х:

dy/dx = (-1 / D²) * dD/dx

где dD/dx - производная знаменателя D по х.

dD/dx = -2х + а

Теперь подставим значение точки М(4; -1/11) в уравнение функции и её производной:

При х = 4:

y = 1 / (-4² + 4а - 3) = -1/11

dy/dx = (-1 / (-4² + 4а - 3)²) * (-2 * 4 + а) = 0

Теперь найдем а:

-1/11 = 1 / (-4² + 4а - 3)

Для упрощения уравнения, умножим обе части на (-4² + 4а - 3):

-(-4² + 4а - 3) = 1 / 11

4² - 4а + 3 = 11

16 - 4а + 3 = 11

4а = 16 - 3 - 11

4а = 2

а = 2 / 4

а = 0.5

Таким образом, наименьшее значение функции y = 1 / (-х² + ах - 3), при условии, что её график проходит через точку М(4; -1/11), достигается при а = 0.5.