Question

Нацти все решения уравнения (2|x|-1)²=|x| принадлежащие области определения функции y=lg(4x-1)

Answer 1

Область определения функции y=lg(4x-1): 4x-1>0 откуда x>1/4.

$(2|x|-1)^2=|x|\\ 4x^2-4|x|+1=|x|\\ 4x^2-5|x|+1=0$

Если $x\geq 0$, то $4x^2-5x+1=0$

$D=25-16=9\\ x_1=\frac{5+3}{8} =1\\ x_2=\frac{5-3}{8}=0.25~~~\notin~~~ (0.25;+\infty)$

Случай $x$ можно не рассматривать, ведь корни будут отрицательными и не удовлетворяют неравенству x>1/4

Ответ: 1.

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения:

(2|x|-1)² = |x|

Для того чтобы решить это уравнение, нужно рассмотреть несколько случаев в зависимости от знака выражения внутри модуля |x|.

1. При x ≥ 0: Уравнение становится: (2x - 1)² = x

Раскрываем квадрат и приводим подобные:

4x² - 4x + 1 = x

Переносим все в одну сторону:

4x² - 5x + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac D = (-5)² - 4 * 4 * 1 D = 25 - 16 D = 9

Найдем два корня уравнения:

x₁ = (-b + √D) / 2a x₁ = (5 + √9) / 8 x₁ = (5 + 3) / 8 x₁ = 8 / 8 x₁ = 1

x₂ = (-b - √D) / 2a x₂ = (5 - √9) / 8 x₂ = (5 - 3) / 8 x₂ = 2 / 8 x₂ = 1/4

2. При x < 0: Уравнение становится: (2(-x) - 1)² = -x

Раскрываем квадрат и приводим подобные:

4x² + 4x + 1 = -x

Переносим все в одну сторону:

4x² + 5x + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 5² - 4 * 4 * 1 D = 25 - 16 D = 9

Найдем два корня уравнения:

x₁ = (-5 + √9) / 8 x₁ = 0 (не учитываем, так как x < 0)

x₂ = (-5 - √9) / 8 x₂ = -10 / 8 x₂ = -5 / 4

Таким образом, получаем два решения уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -5/4.

Теперь нужно убедиться, что оба этих решения принадлежат области определения функции y = lg(4x - 1). Функция логарифма определена только для положительных аргументов, то есть (4x - 1) > 0.

1. Для x₁ = 1: 4 * 1 - 1 = 3 (положительное число)

2. Для x₂ = -5/4: 4 * (-5/4) - 1 = -5 - 1 = -6 (отрицательное число)

Таким образом, решение x₁ = 1 удовлетворяет области определения функции, а решение x₂ = -5/4 не удовлетворяет. Итак, единственное решение, принадлежащее области определения функции, это x = 1.