Question

Найдите площадь треугольника ABC если известны координаты его вершин A (1:-1:0) B (-1:-1:0) C(1:-7:8)

Answer 1

$A(1,-1,0)\; ,\; \; B(-1,-1,0)\; ,\; \; C(1,-7,8)\\\\\overline {AB}=(-2,0,0)\; ,\; \; \overline {AC}=(0,-6,8)\\\\\\.\; \; [\overline {AB}\times \overline {AC}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&0&0\\0&-6&8\end{array}\right|=-2\cdot \left|\begin{array}{cc}j&k\\-6&8\end{array}\right|=\\\\=-(-2)\cdot (8j+6k)=16j+12k\\\\|\overline {AB}\times \overline {AC}|=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{400}=20\\\\S(\Delta ABC)=20$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь треугольника ABC, образованного тремя вершинами A, B и C, можно воспользоваться формулой Герона или, в данном случае, более простым методом - вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами AB и AC, а затем поделить её на 2.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC: Вектор AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-1 - 1, -1 - (-1), 0 - 0) = (-2, 0, 0) Вектор AC = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (1 - 1, -7 - (-1), 8 - 0) = (0, -6, 8)

Шаг 2: Найдем векторное произведение векторов AB и AC: Векторное произведение AB и AC = ((0 * 8) - (0 * (-6)), (0 * 8) - ((-2) * 8), (-2 * (-6)) - (0 * 0)) = (0, -16, 12)

Шаг 3: Найдем длину вектора векторного произведения (модуль): |AB × AC| = √(0^2 + (-16)^2 + 12^2) = √(256 + 144) = √400 = 20

Шаг 4: Найдем площадь параллелограмма, образованного векторами AB и AC: Площадь параллелограмма = |AB × AC| = 20

Шаг 5: Так как треугольник ABC является половиной параллелограмма, его площадь равна половине площади параллелограмма: Площадь треугольника ABC = 20 / 2 = 10 квадратных единиц (единицы измерения зависят от системы координат, в данном случае не указаны).