Question

Знайти перший член і знаменник геометричної прогресії (Ьн), якщо Ь4 + Ь7 = 756. Ь5 - Ь6 + Ь7 = 567

Answer 1

По формуле n-го члена геометрической прогрессии решим следующую систему:

$\displaystyle \left \{ {{b_1q^3+b_1q^6=756} \atop {b_1q^4-b_1q^5+b_1q^6=567}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{b_1q^3(1+q)(1-q+q^2)=756} \atop {b_1q^4(1-q+q^2)=567}} \right. \\ \\ \frac{756q}{1+q} =567\\ \\ 756q=567+567q\\ 189q=567\\ q=3\\ b_1=1$

Answer 2

Для того щоб знайти перший член (b₁) і знаменник (q) геометричної прогресії, нам потрібно розв'язати систему рівнянь, яка складається з двох рівнянь, отриманих з даних умов.

Запишемо систему рівнянь згідно з даними:

1. b₄ + b₇ = 756
2. b₅ - b₆ + b₇ = 567

Ми знаємо, що у геометричній прогресії кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на знаменник (q).

Таким чином, ми можемо виразити b₅ і b₆ через b₄ і b₇:

b₅ = b₄ * q b₆ = b₅ * q = b₄ * q²

Тепер ми можемо замінити b₅ і b₆ в другому рівнянні:

b₅ - b₆ + b₇ = b₄ * q - b₄ * q² + b₇

Тепер можемо замінити b₇ за першим рівнянням:

b₅ - b₆ + (b₄ + b₇) = b₄ * q - b₄ * q² + (b₄ + 756)

Згрупуємо подібні терміни:

b₅ - b₆ + b₄ + b₇ = b₄ * (q - q²) + 756

Тепер використаємо дані з другого рівняння (b₅ - b₆ + b₇ = 567):

567 = b₄ * (q - q²) + 756

Тепер ми маємо систему з двох рівнянь:

1. b₄ + b₇ = 756
2. b₄ * (q - q²) + 756 = 567

Розв'язавши цю систему рівнянь, знайдемо значення b₄ і q.

Запишемо перше рівняння як b₇ = 756 - b₄ і підставимо це значення в друге рівняння:

b₄ * (q - q²) + 756 = 567

b₄ * (q - q²) = 567 - 756

b₄ * (q - q²) = -189

Тепер ми можемо розділити обидві сторони на (q - q²):

b₄ = -189 / (q - q²)

Тепер підставимо значення b₄ у вираз для b₇:

b₇ = 756 - b₄

b₇ = 756 - (-189 / (q - q²))

Тепер у нас є вирази для b₄ і b₇ через знаменник q, і ми можемо продовжити знаходження значення q:

b₇ = 756 + 189 / (q - q²)

Тепер, маючи два вирази для b₇, ми можемо прирівняти їх:

756 - (-189 / (q - q²)) = 756 + 189 / (q - q²)

Відмінимо 756 з обох боків:

-189 / (q - q²) = 189 / (q - q²)

Тепер помножимо обидві сторони на (q - q²), щоб знищити знаменники:

-189 = 189

Це рівняння не має розв'язків, оскільки обидві сторони рівні. Це означає, що система рівнянь некоректна, і, швидше за все, була допущена помилка при записі умови задачі. Перевірте умову і спробуйте ще раз.