Question

у правильної чотирикутної піраміди двогранний кут при ребрі основи дорівнює а.Знайдіть об‘єм піраміди,якщо її бічне ребро дорівнює м

Answer 1

Дана правильная четырёхугольная пирамида РАВСД.

Проведём в ней апофему А (отрезок РК), точку К соединим с точкой О (проекцией вершины Р на основание).

Тогда угол РКО - это заданный угол α наклона боковой грани к основанию.

Боковые рёбра равны m.

Длину стороны основания примем равной а.

Отрезок КО равен половине стороны основания, тогда апофема А равна:

А = (а/2)/cos α.

Из прямоугольного треугольника РКА имеем:

m² = (a/2)² + A² = (a²/4) + (a²/(4cos²α)) = (a²/4)/(1 + (1/cos²α)).

Отсюда определяем величину стороны основания:

a = (2m*cos α)/√(1+cos²α) и её половину (а/2) = (m*cos α)/√(1+cos²α) и апофему А через заданные значения: А = m/√(1 + cos²α).

Определяем высоту Н пирамиды.

Н = √(А² - (а/2)²) = √((m²/(1 + cos²α)) - ((m²*cos² α)/(1+cos²α)).

Вынесем m за скобки и из корня:

Н = m√((1 - cos² α)/(1+cos²α)). Заменим 1 - cos² α на sin²α и вынесем из корня.

H = (m*sinα)/(√(1 + cos²α).

Теперь можно найти объём пирамиды.

V = (1/3)SoH = (1/3)*((4m²*cos² α)/(1+cos²α))*((m*sinα)/(√(1 + cos²α)) =

= (4m³cos²α*sin α)/(3((1 + cos²α)^(3/2))).

Answer 2

У правильної чотирикутної піраміди всі бічні грані є рівносторонніми трикутниками, а кут між бічною гранню та основою є прямим кутом.

Перед тим, як знайти об'єм піраміди, нам потрібно знайти довжину ребра основи (a). Зауважте, що у трикутнику з трьома рівними сторонами, кожний кут дорівнює 60 градусів. Але так як у нас двогранний кут при ребрі основи, то це означає, що він дорівнює 120 градусів.

Тепер, для знаходження довжини ребра основи (a), ми можемо скористатися трикутником з одним із бічних ребер і двома векторами з цього ребра до вершин основи:

Синус 60 градусів = a / (довжина бічного ребра) sin(60°) = a / м

Тепер ми можемо знайти a: a = м * sin(60°)

Тепер, коли у нас є довжина ребра основи (a) і довжина бічного ребра (м), ми можемо знайти об'єм піраміди. Об'єм піраміди можна знайти за допомогою формули:

Об'єм піраміди = (1/3) * Площа основи * Висота піраміди

Так як у правильної чотирикутної піраміди основа є квадратом, то її площа дорівнює a^2, а висота піраміди також дорівнює a (вона є відрізком, який йде від вершини піраміди до центра основи і перпендикулярний до неї).

Тепер можемо знайти об'єм піраміди:

Об'єм піраміди = (1/3) * a^2 * a Об'єм піраміди = (1/3) * a^3

Тепер підставимо значення a:

Об'єм піраміди = (1/3) * (м * sin(60°))^3

Об'єм піраміди = (1/3) * (м * √3/2)^3

Об'єм піраміди = (1/3) * (м^3 * (3√3)/8)

Таким чином, об'єм піраміди буде:

Об'єм піраміди = (м^3 * √3)/8