Question

Вычислить неопределенный интеграл методом введения переменной: а) ∫sin(3x+5)dx; б) ∫(2+5x)^9dx; в) (cosx)/(3+sinx)dx; г) ∫e^(sinx)cosxdx

Answer 1

========================================>>

Answer 2

Стараюсь быстрее, но не получается...см.фото

Answer 3

Для вычисления неопределенных интегралов методом введения переменной, нужно заменить аргумент функции на новую переменную, произвести замену переменных, вычислить новый интеграл и затем вернуться к исходной переменной. Процесс замены переменных в интеграле называется "интегрированием по замене переменной" или "заменой переменных".

а) ∫sin(3x+5)dx:

Проведем замену переменной: Пусть u = 3x + 5. Тогда du/dx = 3, откуда dx = du/3.

Подставим новую переменную в исходный интеграл: ∫sin(u) * (1/3) du.

Теперь проинтегрируем: ∫sin(u) du = -cos(u) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к исходной переменной x: -∫cos(3x + 5) dx + C.

б) ∫(2+5x)^9dx:

Проведем замену переменной: Пусть u = 2 + 5x. Тогда du/dx = 5, откуда dx = du/5.

Подставим новую переменную в исходный интеграл: ∫u^9 * (1/5) du.

Теперь проинтегрируем: ∫u^9 du = (u^10)/10 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к исходной переменной x: (1/10) * (2 + 5x)^10 + C.

в) ∫(cosx) / (3 + sinx) dx:

Проведем замену переменной: Пусть u = 3 + sinx. Тогда du/dx = cosx, откуда dx = du / cosx.

Подставим новую переменную в исходный интеграл: ∫(1/u) * du.

Теперь проинтегрируем: ∫(1/u) du = ln|u| + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к исходной переменной x: ∫(cosx) / (3 + sinx) dx = ln|3 + sinx| + C.

г) ∫e^(sinx) * cosxdx:

Здесь нет простой замены переменной, поэтому воспользуемся методом интегрирования по частям.

Пусть u = e^(sinx), dv = cosx dx. Тогда du/dx = e^(sinx) * cosx, v = sinx.

Теперь воспользуемся формулой интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

Подставим значения u и v: ∫e^(sinx) * cosx dx = e^(sinx) * sinx - ∫sinx * e^(sinx) * cosx dx.

Теперь перенесем оставшийся интеграл на левую сторону: ∫e^(sinx) * cosx dx + ∫sinx * e^(sinx) * cosx dx = e^(sinx) * sinx.

Теперь выразим исходный интеграл: ∫e^(sinx) * cosx dx = e^(sinx) * sinx - ∫sinx * e^(sinx) * cosx dx.

Теперь поделим на (1 + ∫sinx * e^(sinx) * cosx dx) на обе стороны: ∫e^(sinx) * cosx dx = (e^(sinx) * sinx) / (1 + ∫sinx * e^(sinx) * cosx dx).

Теперь этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, и ответ будет оставаться в таком виде.