Question

В равнобедренную трапецию ABCD (AB||DC) вписана окружность с центром О . Найдите радиус окружности, если OA=a, OD= b

Answer 1

Так как центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис трапеции, то ∠OAD+∠ODA=90°, тогда ∠AOD=180°-(∠OAD+∠ODA)=90°.

Отсюда по теореме Пифагора AD=√(AO²+OD²)=√(a²+b²).

Из угла O треугольника AOD проводим перпендикуляр OH к стороне AD (OH - перпендикулярен AD как РАДИУС, проведенный в точку касания прямой AD и окружности с центром O).

Заметим, что ΔAOH и ΔDOH подобны, значит OH/OD=OA/AD.

Теперь можем найти радиус: r=OH=(OA•OD)/AD=(ab)/√(a²+b²)

Ответ: r=(ab)/√(a²+b²).

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренную трапецию ABCD, нам понадобится использовать свойства окружностей, вписанных в треугольники.

Дано:

• Трапеция ABCD, где AB || DC.
• Центр вписанной окружности обозначим О.
• Длины отрезков OA и OD равны a и b соответственно.

Следующие свойства вписанных окружностей в равнобедренные трапеции нам пригодятся:

1. Точка касания окружности с стороной трапеции является серединой этой стороны.
2. Диагонали трапеции пересекаются в точке, лежащей на окружности.
3. Полупериметр равнобедренной трапеции выражается как s = (a + b + 2c), где c - длина основания трапеции.

Теперь давайте найдем радиус окружности.

1. Найдем длину основания трапеции c: Так как AB || DC, то трапеция ABCD - изоскелесная. Значит, длины её оснований равны: c = AB = DC.

2. Найдем полупериметр s: s = (a + b + 2c)

3. Найдем длину диагонали трапеции: Так как трапеция ABCD - равнобедренная, диагонали равны между собой: AC = BD.

4. Найдем радиус окружности: Используем формулу для радиуса вписанной окружности в треугольник: r = (полупериметр) / (половина длины диагонали). r = s / (AC / 2)

Теперь объединим все шаги:

r = (a + b + 2c) / (AC / 2)

Учитывая, что AC = BD, получаем:

r = (a + b + 2c) / (BD / 2)

Таким образом, радиус окружности равен:

r = (a + b + 2c) / (BD / 2)