Question

Обьясните, как решать эти два примера (ln(-x))^2 + ln(x^2) < 3 (3x-2)^2x-3 = 3x-2

Answer 1

В 1
х < 0, т.к. вещественный логарифм будет действительным только при этом условии
подставим a вместо -х
ln(a)+ln(a²)<3
ln(a)+2*ln(a)<3
ln(a)<1
ln(a)<ln(e)
a<e
-x<2.718
Результат с учетом ОДЗ 0>x> -2.718

во 2
${(3x - 2)}^{2x - 3} = {(3x - 2)}^{1}$
2x-3=1
2x=4
x=2
это первый корень
так же значения будут равны при основании 1
3х-2=1
3х=3
х=1
корни - 1;2

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

1. Уравнение: (ln(-x))^2 + ln(x^2) < 3

Прежде чем начать, заметим, что логарифмы определены только для положительных значений аргументов. Поэтому, чтобы решить данное уравнение, необходимо разбить его на два случая:

a) При условии x > 0:

Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

(ln(-x))^2 + ln(x^2) < 3 (ln(x))^2 + ln(x^2) < 3

Обозначим ln(x) за u:

u^2 + 2u < 3

Теперь перенесем все в одну сторону:

u^2 + 2u - 3 < 0

Теперь решим квадратное неравенство. Мы видим, что это уравнение квадратно по u. Для простоты обозначим u^2 за t:

t + 2t - 3 < 0 3t - 3 < 0 t - 1 < 0

Теперь вернем u^2 обратно:

u^2 - 1 < 0

Теперь факторизуем:

(u + 1)(u - 1) < 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. u + 1 < 0 и u - 1 > 0

u + 1 < 0 u < -1

u - 1 > 0 u > 1

2. u + 1 > 0 и u - 1 < 0

u + 1 > 0 u > -1

u - 1 < 0 u < 1

Таким образом, для x > 0:

-1 < u < 1

Теперь вернемся к исходной переменной:

-1 < ln(x) < 1

b) При условии x < 0:

Обратите внимание, что в этом случае логарифмы не определены. Значит, уравнение не имеет решений.

Итак, объединяя оба случая, получим:

-1 < ln(x) < 1

Теперь рассмотрим второе уравнение:

2. Уравнение: (3x-2)^2x-3 = 3x-2

Для начала, преобразуем его:

(3x - 2)^2 * (x - 3) = 3x - 2

Теперь попробуем решить уравнение.

1. Перенесем все в левую сторону:

(3x - 2)^2 * (x - 3) - (3x - 2) = 0

2. Вынесем общий множитель:

(3x - 2) * [(3x - 2)(x - 3) - 1] = 0

3. Решим получившееся квадратное уравнение:

a) (3x - 2) = 0 Тогда: 3x = 2 x = 2/3

b) (3x - 2)(x - 3) - 1 = 0 Раскроем скобки: 3x^2 - 11x + 8 = 1 3x^2 - 11x + 7 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Оно не факторизуется, поэтому воспользуемся квадратным корнем:

x = (-(-11) ± √((-11)^2 - 4 * 3 * 7)) / (2 * 3) x = (11 ± √(121 - 84)) / 6 x = (11 ± √37) / 6

Таким образом, получаем два значения для x:

x = (11 + √37) / 6 x ≈ 1.577

x = (11 - √37) / 6 x ≈ 0.256

Итак, решения уравнения:

x = 2/3, x ≈ 1.577, x ≈ 0.256

Пожалуйста, обратите внимание, что в процессе решения уравнений возникло логарифмическое выражение, которое имеет ограничения на значения переменных. Поэтому, решения уравнений могут подвергаться проверке, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ограничениям.