Question

Сумма первых 100 членов арифметической прогрессии равна 10, сумма первых 200 членов 30. Найдите сумму первых 300 членов этой прогрессии.

Answer 1

$(a_1+a_1+99d)*100 : 2 = 10\\ 100a_1 + 4950d = 10\\ 10a_1+495d=1\\\\ (a_1+a_1+199d)*200 : 2 = 30\\ 200a_1+19900d=30\\ 20a_1+1990d=3\\\\ 20a_1+1990d-2(10a_1+495d)=1000d=1\\ d=0,001\\ 10a_1=1-0,495=0,505\\ a_1=0,0505\\ S_{300}=(a_1+a_1+299d)*300 : 2 = (0,101+0,299)*150=0,4*150=60$

Ответ: 60

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулами для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d сумма первых n членов Sₙ вычисляется по формуле:

Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)

Где n - количество членов прогрессии.

Мы имеем два уравнения:

1. S₁₀₀ = 10
2. S₂₀₀ = 30

Подставим известные значения:

1. 10 = 100/2 * (2a₁ + (100-1)d)
2. 30 = 200/2 * (2a₁ + (200-1)d)

Мы знаем, что 200 = 2 * 100, поэтому можем использовать первое уравнение для нахождения значения a₁ и d, а затем использовать эти значения для нахождения S₃₀₀:

10 = 100/2 * (2a₁ + 99d)

Делим обе стороны на 50:

0.2 = 2a₁ + 99d

30 = 200/2 * (2a₁ + 199d)

Делим обе стороны на 100:

0.3 = 2a₁ + 199d

Теперь, чтобы найти a₁ и d, вычтем второе уравнение из первого:

0.2 - 0.3 = (2a₁ + 99d) - (2a₁ + 199d)

-0.1 = -100d

Теперь найдем d:

d = -0.1 / -100 = 0.001

Теперь, зная значение d, найдем a₁, подставив его в первое уравнение:

0.2 = 2a₁ + 99 * 0.001

0.2 = 2a₁ + 0.099

2a₁ = 0.2 - 0.099

2a₁ = 0.101

a₁ = 0.101 / 2

a₁ = 0.0505

Теперь у нас есть значения a₁ и d:

a₁ = 0.0505 d = 0.001

Используем формулу для S₃₀₀:

S₃₀₀ = 300/2 * (2a₁ + (300-1)d)

S₃₀₀ = 150 * (2 * 0.0505 + (300-1) * 0.001)

S₃₀₀ = 150 * (0.101 + 0.299)

S₃₀₀ = 150 * 0.4

S₃₀₀ = 60

Сумма первых 300 членов арифметической прогрессии равна 60.