Question

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M0(−9,−7,−9) и M1(−9,−6,−1) параллельно вектору e−−={1,−10,−5} Уравнение плоскости запишите в виде Ax+By+z+D=0. В ответ через точку с запятой введите значения: A;B;D

Answer 1

Найдём нормальный вектор плоскости:

$M_0(-9,-7,-9)\in \pi \; ,\; \; M_1(-9,-6,-1)\in \pi \; ,\; \; \overline{M_0M_1}=(0,1,8)\\\\\vec{e}=(1,-10,-5)\; \; ,\; \; \vec{e}\parallel \pi \\\\\vec{n}=[\, \overline{M_0M_1}\times \vec{e}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&1&8\\1&-10&-5\end{array}\right|=13i+8j-k\\\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_))=0\\\\13(x+9)+8(y+7)-1\cdot (z+9)=0\\\\\underline {13x+8y-z+164=0}\\\\Otvet:\; \; 13\; ;\; 8\; ;\; 164\; .$

Answer 2

Для записи уравнения плоскости, проходящей через точки M0(−9,−7,−9) и M1(−9,−6,−1) и параллельной вектору e−−={1,−10,−5}, мы сначала найдем вектор нормали этой плоскости, который будет перпендикулярен вектору e−−.

Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих на этой плоскости. Возьмем два вектора, образованных из точек M0 и M1:

v1 = M1 - M0 = (−9, −6, −1) - (−9, −7, −9) = (0, 1, 8) v2 = e−− = (1, −10, −5)

Теперь найдем векторное произведение векторов v1 и v2:

n = v1 x v2

n = (0, 1, 8) x (1, −10, −5)

Для вычисления векторного произведения используем правило:

n = (v1_y * v2_z - v1_z * v2_y, v1_z * v2_x - v1_x * v2_z, v1_x * v2_y - v1_y * v2_x)

n = (1 * (-5) - 8 * (-10), 8 * 1 - 0 * (-5), 0 * (-10) - 1 * 1)

n = (45, 8, -1)

Теперь у нас есть вектор нормали к плоскости, и мы можем записать уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, подставив координаты точки M0:

45x + 8y - z + D = 0

Теперь подставим координаты точки M0(-9, -7, -9) в уравнение, чтобы найти D:

45 * (-9) + 8 * (-7) - (-9) + D = 0

-405 - 56 + 9 + D = 0

D = 452 - 9

D = 443

Таким образом, уравнение плоскости будет:

45x + 8y - z + 443 = 0

Ответ: A = 45; B = 8; D = 443.