Question

Определите сколько значений имеет система |x| + |y| = a, x² + y² = 1, в зависимости от значения параметра a

Answer 1

1-е уравнение - квадрат с центром в точке (0;0) и полудиагональю a

2-е уравнение - окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 1

$a$ - нет решений

$a=1$ - 4 решения

$1$ - 8 решений

$a=\sqrt{2}$ - 4 решения

$a>\sqrt{2}$ - нет решений

Ответ: $a\sqrt{2}$ - нет решений

           $a=1; a=\sqrt{2}$ - 4 решения

           $1$ - 8 решений

Answer 2

Для определения количества значений системы уравнений |x| + |y| = a и x² + y² = 1 в зависимости от параметра a, нужно рассмотреть несколько случаев.

1. Когда a < 0: Если a отрицательно, то уравнение |x| + |y| = a не имеет решений, так как абсолютные значения не могут быть отрицательными. В этом случае система не имеет решений.

2. Когда 0 ≤ a < 2: Если a принадлежит интервалу от 0 до 2 (включая границы), то уравнение |x| + |y| = a определяет квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат. А уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиусом 1. В этом случае они могут пересекаться в нуле, на окружности и на границах квадрата. Таким образом, в этом интервале у a будет бесконечно много решений.

3. Когда a = 2: При a = 2 уравнение |x| + |y| = a становится |x| + |y| = 2. Это определяет квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, с вершинами (±2, 0) и (0, ±2). Уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиусом 1. В этом случае квадрат и окружность касаются друг друга в четырех точках на границе квадрата. Следовательно, в этом случае будет 4 решения.

4. Когда a > 2: При a > 2 уравнение |x| + |y| = a определяет квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, с вершинами (±a, 0) и (0, ±a). Уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиусом 1. В этом случае окружность полностью находится вне квадрата, и у них нет общих точек. Следовательно, в этом случае система не имеет решений.

Таким образом, количество значений системы |x| + |y| = a и x² + y² = 1 зависит от значения параметра a:

• Если a < 0, система не имеет решений.
• Если 0 ≤ a < 2, система имеет бесконечно много решений.
• Если a = 2, система имеет 4 решения.
• Если a > 2, система не имеет решений.