Question

Три землекопа, работая вместе, должны выкопать яму определенного размера. Первый и второй землекоп, работая вместе, могут выкопать ее на 36 минут быстрее, чем один третий землекоп. За то время, за которое могут выкопать яму первый и третий землекоп, работая вместе, второй может выкопать только половину ямы. За то время, за которое яму выкопают второй и третий землекоп, работая вместе, первый выкопает 2/7 ямы. За какое время все три землекопа выкопают яму?

Answer 1

1/(p₁ + p₂) + 36 = 1/p₃

1/(p₁ + p₃) = 1/2 / p₂

1/(p₂ + p₃) = 2/7 / p₁

1/(p₁ + p₂) + 36 = 1/p₃

1/(p₁ + p₃) = 1/(2p₂)

1/(p₂ + p₃) = 2/(7p₁)

1/(p₁ + p₂) + 36 = 1/p₃

p₁ + p₃ = 2p₂

7p₁ = 2p₂ + 2p₃

2p₂ = p₁ + p₃

7p₁ = p₁ + p₃ + 2p₃

1/(p₁ + p₂) + 36 = 1/p₃

p₂ = (p₁ + p₃)/2

6p₁ = 3p₃

1/(p₁ + p₂) + 36 = 1/p₃

2p₁ = p₃

p₂ = 3p₁/2

1 / 5p₁/2 + 36 = 1/(2p₁)

2/(5p₁) + 36 = 1/(2p₁)

1/(2p₁) - 2/(5p₁) = 36

(5 - 4)/(10p₁) = 36

1/(10p₁) = 36

p₁ = 1/360

p₂ = 3/2 · 1/360 = 1/240

p₃ = 2 · 1/360 = 1/180

Три землекопа выкопают яму за 1/(p₁ + p₂ + p₃) = 1/(1/360 + 1/240 + 1/180) = 1/(2/720 + 3/720 + 4/720) = 1 / 9/720 = 80 мин.

Answer 2

Давайте обозначим скорость работы первого, второго и третьего землекопов через A, B и C соответственно. Пусть размер ямы будет равен 1 (единица работы).

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. Первый и второй землекопы работают вместе на 36 минут быстрее, чем третий один. Это означает, что время работы первых двух землекопов вместе составляет C - 36 минут (где C - время работы третьего землекопа в одиночку).

2. Первый и третий землекопы работают вместе на то время, за которое второй выкопает только половину ямы.

3. Второй и третий землекопы работают вместе на то время, за которое первый выкопает 2/7 ямы.

Теперь запишем уравнения для каждой ситуации:

1. Уравнение для первых двух землекопов, работающих вместе: (1/A) + (1/B) = 1 / (C - 36)

2. Уравнение для первого и третьего землекопов, работающих вместе, и второго землекопа: (1/A) + (1/C) = 1 / (B / 2)

3. Уравнение для второго и третьего землекопов, работающих вместе, и первого землекопа: (1/B) + (1/C) = 2 / 7

Теперь решим эту систему уравнений.

Система уравнений:

1. (1/A) + (1/B) = 1 / (C - 36)
2. (1/A) + (1/C) = 1 / (B / 2)
3. (1/B) + (1/C) = 2 / 7

Давайте решим ее, начав с уравнения (3), выразим B через C:

(1/B) + (1/C) = 2 / 7 1/B = 2/7 - 1/C 1/B = (2C - 7) / 7C B = 7C / (2C - 7)

Теперь подставим это выражение для B в уравнение (2):

(1/A) + (1/C) = 1 / (B / 2) (1/A) + (1/C) = 1 / ((7C / (2C - 7)) / 2) (1/A) + (1/C) = (2C - 7) / 7C

Теперь у нас есть выражение для (1/A) + (1/C), и мы также знаем из уравнения (1), что (1/A) + (1/B) = 1 / (C - 36). Подставим его:

(1/A) + (1/B) = 1 / (C - 36) (1/A) + (1/C) = (2C - 7) / 7C

Теперь сложим эти два выражения:

2 * (1/A) + (1/B) + (1/C) = 1 / (C - 36) + (2C - 7) / 7C

Умножим обе части уравнения на 7AC(C - 36) (наименьшее общее кратное знаменателей):

14AC + 7C(C - 36) = 7AC(C - 36) + A(2C - 7)(C - 36)

Раскроем скобки:

14AC + 7C^2 - 252C = 7AC(C - 36) + A(2C^2 - 43C + 252)

Упростим уравнение:

7C^2 - 252C = 7AC(C - 36) + 2AC^2 - 43AC + 252A

7C^2 - 252C - 7AC(C - 36) - 2AC^2 + 43AC - 252A = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (C), решим его. Но я могу предположить, что вам интересно не находить численное значение C, а определить время, за которое все три землекопа выкопают яму.

Пусть C - время работы третьего землекопа в одиночку. Значит, первый и второй землекопы работают вместе на C - 36 минут. Значит, время, за которое они выкопают яму вместе, составляет (C - 36) минут.

Таким образом, время, за которое все три землекопа выкопают яму, составит C минут.

К сожалению, на данном этапе мы не можем определить конкретное численное значение C без дополнительной информации или уравнения. Однако мы знаем, что время работы всех трех землекопов вместе составляет C минут, и это значение должно быть решением полученного уравнения.