Question

Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо бісектриса його гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 21 чи і 35 см

Answer 1

Знаходимо тангенс гострого кута, про бесектрису до якого йде мова

$21{\rm tg}\,\alpha=(21+35){\rm tg}\,\frac{\alpha}{2};\\ 21\frac{2{\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}}{1-{\rm tg}^2\,\frac{\alpha}{2}}=56{\rm tg}\,\frac{\alpha}{2};\\ 1-{\rm tg}^2\,\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4};\\ {\rm tg}^2\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{4};\Rightarrow {\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2};\Rightarrow {\rm tg}\,\alpha=\frac{4}{3}.$

Тоді другий катет трикутника буде

$56:\frac{4}{3}=42,$

а отже площа трикутника буде дорівнювати

$S=\frac{1}{2}\cdot42\cdot56=1176.$

Answer 2

Щоб знайти площу прямокутного трикутника, нам спочатку потрібно знайти його катети, а потім за допомогою них визначити площу.

Дано:

1. Бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 21 і 35 см.

Позначимо катети трикутника:

1. Перший катет: a (відрізок, який ділиться бісектрисою на 21 см).
2. Другий катет: b (відрізок, який ділиться бісектрисою на 35 см).

Знаючи, що бісектриса трикутника ділить протилежний катет на дві частини пропорційно до довжини інших катетів, можемо скласти наступні пропорції:

a / b = 21 / 35

Тепер ми можемо знайти значення a і b:

a = (21 / 35) * b a = (3 / 5) * b

Тепер звернімося до теореми Піфагора для прямокутного трикутника:

гіпотенуза² = катет₁² + катет₂²

Ми знаємо, що один із катетів має довжину a, а другий - b. Гіпотенуза трикутника є протилежним кутом, який не ділиться бісектрисою.

Тепер маємо:

гіпотенуза² = a² + b²

Також, ми можемо використати рівняння, яке ми отримали з пропорції:

a = (3 / 5) * b

Підставимо значення a в рівняння для гіпотенузи:

гіпотенуза² = ((3 / 5) * b)² + b²

Розкриємо дужки:

гіпотенуза² = (9 / 25) * b² + b²

Тепер знайдемо значення гіпотенузи:

гіпотенуза² = (9/25 + 1) * b² гіпотенуза² = (34/25) * b²

Тепер можемо знайти гіпотенузу:

гіпотенуза = √((34/25) * b²)

Так як це прямокутний трикутник, площа трикутника буде дорівнювати половині добутку катетів:

Площа = (1/2) * a * b

Підставимо значення a, яке ми знаємо, через b:

Площа = (1/2) * ((3/5) * b) * b Площа = (3/10) * b²

Тепер, знаючи вираз для гіпотенузи, можемо виразити b² через гіпотенузу:

b² = (25/34) * гіпотенуза²

Тепер підставимо значення b² в формулу для площі:

Площа = (3/10) * ((25/34) * гіпотенуза²) Площа = (15/68) * гіпотенуза²

Знаючи відповідність між довжиною бісектриси і гіпотенузи, маємо:

Площа = (15/68) * (гіпотенуза)²

Тепер ми повинні знайти довжину гіпотенузи. Маємо:

гіпотенуза = √((34/25) * b²)

Знаємо, що один із катетів має довжину b = 35 см, тому можемо знайти гіпотенузу:

гіпотенуза = √((34/25) * (35)²) гіпотенуза = √((34/25) * 1225) гіпотенуза = √(1666) (приблизно) гіпотенуза ≈ 40.8 см

Тепер можемо обчислити площу:

Площа ≈ (15/68) * (40.8)² Площа ≈ (15/68) * 1664.64 Площа ≈ 368.16 (приблизно)

Отже, площа прямокутного трикутника близько 368.16 квадратних сантиметрів.