Question

Решить уравнение : (х²-х+1)⁴+5х2(х²-х+1)²+4х⁴=0

Answer 1

Решение (см. изображение)

Answer 2

Разделим на х⁴ ≠0 обе части
( х≠0 можно проверить подстановкой)

$( \frac{ {x }^{2} - x + 1}{ {x} }) ^{4} + 5( \frac{ {x }^{2} - x + 1}{ {x} }) ^{2} + 4 = 0$
делаем замену
$y = ( \frac{ {x }^{2} - x + 1}{ {x} }) ^{2}$
тогда
у²+5у+4=0

откуда
(у+4)(у+1)=0

у1=-4
у2=-1

И т.к у1<0 и у2<0
а у нас
$y = ( \frac{ {x }^{2} - x + 1}{ {x} }) ^{2}$

то уравнение не имеет решений в области действительных чисел

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте сделаем замену переменной для упрощения выражения.

Положим $y = x^2 - x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^4 + 5x^2y^2 + 4x^4 = 0$.

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$y^4 + 5x^2y^2 + 4x^4 = 0$.

Такое уравнение имеет вид квадратного трёхчлена относительно $y^2$:

$y^4 + 5x^2y^2 + 4x^4 = (y^2 + 4x^2)(y^2 + x^2) = 0$.

Теперь решим два квадратных уравнения:

1. $y^2 + 4x^2 = 0$:

$y^2 = -4x^2$,

$y = \pm 2ix$.

2. $y^2 + x^2 = 0$:

$y^2 = -x^2$,

$y = \pm ix$.

Теперь вернёмся к исходной замене $y = x^2 - x + 1$:

1. $x^2 - x + 1 = \pm 2ix$.

$x^2 - x + 1 - 2ix = 0$,

Теперь решим это кубическое уравнение относительно $x$ (также можно воспользоваться кубической формулой):

$x^3 - x^2 + (1 - 2i)x + (1 - 2i) = 0$.

2. $x^2 - x + 1 = \pm ix$.

$x^2 - x + 1 - ix = 0$.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - x + 1 - ix = 0$.

Теперь найденные значения $x$ и $y$ нужно подставить обратно в уравнение $y = x^2 - x + 1$ и проверить, выполняется ли исходное уравнение.