Question

Из пятизначного числа вычли такое же, но записанное в обратном порядке. Докажите, что получившееся число делится на 11.

Answer 1

Возьмём любое число, например:
98765-56789= 41976
41976:11=3816

Answer 2

Давайте представим пятизначное число в общем виде: ABCDE. Где A, B, C, D и E - цифры, составляющие число, причем A не равно 0, так как число пятизначное.

Теперь вычтем из этого числа число, записанное в обратном порядке: EDCBA.

Теперь вычислим разницу этих двух чисел:

ABCDE - EDCBA

Теперь проведем операции по каждой позиции отдельно:

A - E B - D C - C D - B E - A

Обратите внимание, что числа, записанные на соответствующих позициях, образуют двузначные числа. Например, если в результате операции A - E получится разность AE, которая также является числом (не цифрой).

Теперь давайте перепишем разность ABCDE - EDCBA в виде суммы:

(AB - BA)(10000) + (BC - CB)(1000) + (CD - DC)(100) + (DE - ED)(10) + (E - A)

Заметим, что каждый множитель перед разностью двузначных чисел является степенью 10. Таким образом, все слагаемые (AB - BA)(10000), (BC - CB)(1000), (CD - DC)(100), (DE - ED)(10) делятся на 10, что значит, что каждое слагаемое остаточно делится на 0 по модулю 10.

Теперь посмотрим на последнее слагаемое (E - A). Если разность двузначных чисел делится на 11, то и разность E - A тоже делится на 11. Это можно увидеть, проведя простые вычисления или просто посмотрев на последовательность чисел, увеличивающуюся на 11: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ...

Таким образом, весь результат разности ABCDE - EDCBA делится на 11, что и требовалось доказать.