Question

В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите угол между смежными боковыми гранями. Помогите пожалуйста с этой задачей по стереометрии.

Answer 1

Т.к. пирамида правильная ∠ODC=∠OCD=45

Т.к. OH высота и ∠ODH = 45 = > ∠DOH=45 OH= DH

DH-x ∠DSH=β

По теор. Пифагора $OD=x\sqrt{2}$

$cos \alpha =\frac{x\sqrt{2}}{SD}$

$SD=\frac{x\sqrt{2}}{cos \alpha }$

$sin \beta =\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}cos \alpha }}$

$sin \beta= \sqrt{2}cos \alpha$

$\beta= arcsin(\sqrt{2}cos \alpha)$

∠DSC = $2\beta= 2arcsin(\sqrt{2}*cos \alpha)$

Answer 2

Для решения этой задачи по стереометрии нам понадобятся некоторые свойства правильных четырехугольных пирамид.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в виде квадрата и четыре равных треугольных боковых грани. При этом каждая из этих боковых граней является равнобедренным треугольником. Угол между смежными боковыми гранями (угол между двумя треугольными боковыми гранями) обозначим как β.

Для начала, построим плоскость, проходящую через ребро пирамиды и перпендикулярную плоскости основания. Эта плоскость будет проходить по середине боковых граней пирамиды.

Теперь у нас есть два треугольника, образованных плоскостью основания и этой новой плоскостью. Оба этих треугольника являются равнобедренными и подобными (по причине равенства углов наклона к плоскости основания α).

Заметим, что угол между смежными боковыми гранями равен углу между этими двумя треугольниками.

Давайте обозначим сторону квадрата, основание пирамиды, как a.

Тогда, в силу равнобедренности и подобности треугольников, сторона боковой грани (равнобедренного треугольника) равна a, а катет (половина стороны квадрата) равен a/2.

Мы можем выразить высоту правильной четырехугольной пирамиды h через сторону a основания и угол наклона α:

h = (a/2) * tan(α).

Теперь, используя теорему косинусов, можем найти угол β:

cos(β) = (a^2 + a^2 - 2 * a^2 * cos(α)) / (2 * a * a), cos(β) = (2 - 2 * cos(α)) / 2, cos(β) = 1 - cos(α), β = arccos(1 - cos(α)).

Таким образом, угол между смежными боковыми гранями (β) равен arccos(1 - cos(α)).