Question

Шах разбил свой квадратный одноэтажный дворец на 64 одинаковые квадратные комнаты, разделил комнаты на семь квартир (проделав двери в некоторых перегородках между комнатами) и в каждой квартире поселил по жене. Жены могут ходить по всем комнатам своей квартиры, не заходя к другим. Какое наименьшее число дверей пришлось проделать во внутренних стенах?

Answer 1

Попробовал разные расположения, и вот что получается- минимальное число дверей получается в вытянутой в одну линию квартире (такой коридор из комнат, возможно изгибающийся).

В такой квартире нужно сделать по одной двери в каждой комнате, чтобы попасть в следующую комнату, и только в последней комнате не надо делать, т.к. мы уже её соединили с предыдущей. Получается, для такой квартиры число дверей (Д) равно числу комнат (К) минус один:

Д(1) = К - 1 -число дверей для первой квартиры

А для семи таких квартир, число дверей будет на семь меньше числа комнат. А так как суммарное число комнат во всех квартирах равно 64, то число дверей будет равно:

Д(общ) = Д(1) + Д(2) + Д(3) + Д(4) + Д(5) + Д(6) + Д(7) =

= К(1) - 1 + К(2) - 1 + К(3) - 1 + К(4) - 1 + К(5) - 1 + К(6) - 1 + К(7) - 1 =

= ΣК - 7 = 64 - 7 = 57 дверей

Это и есть минимальное число дверей для данной задачи.

При этом, можно сделать шесть квартир по восемь комнат, а седьмую- 16 комнат (см.рис.1), или шесть квартир по одной комнате (см.рис.2), а седьмую- 58 комнат, всё равно общее число дверей будет равно 57.

Ответ: 57 дверей.

P.S. наружные двери не рисовал, т.к. о них в задаче не говорится.

Answer 2

Чтобы минимизировать количество дверей, необходимых для разделения комнат на семь квартир, жены должны использовать одни и те же стены как можно чаще. Вот один из возможных вариантов:

1. Поделить дом на 8 рядов по 8 комнат в каждом.
2. Открыть двери внутри каждого ряда, чтобы образовать 8 квартир по 8 комнат в каждой. Каждая квартира занимает весь ряд.
3. Каждая жена занимает одну комнату в каждой квартире. Таким образом, каждая жена может ходить по своей квартире, не заходя в другие.

Таким образом, наименьшее число дверей, которые нужно проделать во внутренних стенах, равно 7 дверям (по одной двери для каждой квартиры).