Question

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 60 градусов. Найти отношение АН:НВ, где СН - высота треугольника.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике АВС высота СН делит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника: АСН и ВСН. В треугольнике ВСН тангенс угла В равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg60=СН/НВ=√3  (1). В треугольнике АСН имеем: tgA=tg30=CH/AH=√3/3 (2). Разделим (1) на (2):  (СН/НВ)/CH/AH = АН/НВ. Или  АН/НВ= √3*3/√3=3.

Ответ: АН/НВ = 3/1.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится тригонометрия и специальные соотношения для прямоугольных треугольников.

Обозначим длины сторон треугольника АВС следующим образом:

• Пусть АВ = а,
• ВС = b,
• АС = c (гипотенуза, противоположная прямому углу).

Мы знаем, что угол В равен 60 градусов. Также, если СН - высота треугольника, то НВ является половиной стороны ВС (поскольку треугольник АВС - прямоугольный и угол В равен 60 градусам).

Теперь, применяя тригонометрию, можем найти соотношение АН:НВ.

1. Используем теорему синусов для треугольника АВС: sin(60°) = a / c

2. Выразим a: a = c * sin(60°)

3. Также, у нас есть соотношение о высоте СН и НВ: СН = 2 * НВ

4. Запишем отношение АН:НВ: АН / НВ = (АН / СН) * (СН / НВ)

5. Подставим значения: АН / НВ = (а / c) * (c / (2 * НВ))

6. Подставим значение а = c * sin(60°) и упростим: АН / НВ = (c * sin(60°)) / (2 * НВ)

7. Окончательно, заметим, что c = ВС = 2 * НВ: АН / НВ = (2 * НВ * sin(60°)) / (2 * НВ)

8. Наконец, сократим 2 * НВ с обеих сторон: АН / НВ = sin(60°)

Таким образом, отношение АН:НВ равно sin(60°). Но мы знаем, что sin(60°) = √3 / 2 (по стандартным значениям тригонометрических функций).

Итак, ответ: АН:НВ = √3 / 2.