Question

Что такое погрешность произведений. погрешность частного. Вычисление с заданной точностью?

Answer 1

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу

,

для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

;

Погрешность функции

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

погрешность вычислительный приближенный функция

.

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

x0 << 1 и f(x0) << 1.

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

Погрешность функции нескольких переменных

 

Пусть y = f(x1, x2, …, xn) - приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .

Для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :

,

где производная определяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :

.

В итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:

.

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

xi << 1 (i = ); f(x1, x2, …, xn) << 1.

Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.

Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

.

все слагаемые из правой части принимаются равными:

Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:

Answer 2

Погрешность произведения и частного - это понятия, связанные с оценкой точности результатов при выполнении математических операций с числами.

1. Погрешность произведения: При умножении двух чисел погрешность произведения зависит от точности самих чисел и может увеличиваться при умножении. Если у вас есть два числа x и y с погрешностями Δx и Δy соответственно, то абсолютная погрешность произведения x * y определяется как:

Δ(x * y) = |x * Δy| + |y * Δx|

2. Погрешность частного: При делении одного числа на другое погрешность частного также зависит от погрешности исходных чисел. Если у вас есть число x с погрешностью Δx и число y с погрешностью Δy, то абсолютная погрешность частного x / y определяется как:

Δ(x / y) = |(Δx / y)| + |(x * Δy / y^2)|

3. Вычисление с заданной точностью: При выполнении математических операций важно следить за точностью результатов, чтобы избежать накопления больших погрешностей. Для этого можно использовать правила округления или оценивать погрешность на каждом этапе вычислений и корректировать результаты.

Одним из распространенных методов вычисления с заданной точностью является контроль значащих цифр. При выполнении операций округляют числа до определенного числа значащих цифр и сохраняют такое округление на всех этапах вычислений. Это позволяет сохранить баланс между точностью и накоплением ошибок.

Также важно учитывать, что использование чисел с высокой точностью (например, более высокой разрядности при работе с числами с плавающей запятой) может помочь уменьшить погрешность, но может потребовать больше ресурсов вычислительной системы. В каждой конкретной ситуации выбор метода вычисления с заданной точностью зависит от требований к результатам и доступных вычислительных ресурсов.