Question

При каком целом n число n^2+5n+16 делится на 169.

Answer 1

$n=\frac{1}{2} (7*\sqrt{13} -5)$

Но навряд ли у вас там всё так сложно.

Answer 2

Чтобы число $n^2 + 5n + 16$ делилось на 169, оно должно быть кратно 169. Так как 169 - это 13 в квадрате (13^2), то для того чтобы $n^2 + 5n + 16$ делилось на 169, оно должно иметь следующий вид:

$n^2 + 5n + 16 = 169k$, где k - целое число.

Теперь решим это уравнение для $n$:

$n^2 + 5n + 16 - 169k = 0$

Можно воспользоваться квадратным уравнением $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 5$, и $c = 16 - 169k$:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 - 169k)}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 676k - 4 \cdot 169k}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 116k}}{2}$

Теперь, чтобы получить целочисленное значение для $n$, $25 - 116k$ должно быть полным квадратом. Посмотрим на возможные значения $k$, чтобы $25 - 116k$ было полным квадратом.

$25 - 116k = m^2$, где $m$ - целое число.

$116k = 25 - m^2$

Теперь заметим, что правая сторона (25 - $m^2$) должна быть кратна 116, и $m^2$ не может превышать 25 (чтобы разность оставалась положительной).

Пробуем различные значения $m$:

1. $m = 1$: $25 - 1^2 = 24$ (не кратно 116)
2. $m = 2$: $25 - 2^2 = 21$ (не кратно 116)
3. $m = 3$: $25 - 3^2 = 16$ (кратно 116, $k = 16/116 = 4/29$, но $k$ должно быть целым числом)
4. $m = 4$: $25 - 4^2 = 9$ (не кратно 116)
5. $m = 5$: $25 - 5^2 = 0$ (кратно 116, $k = 0$)

Таким образом, когда $k = 0$, получаем $n = \frac{-5 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-5 \pm 5}{2}$, что дает два возможных значения для $n$:

1. $n = \frac{-5 + 5}{2} = 0$
2. $n = \frac{-5 - 5}{2} = -5$

При $n = 0$ или $n = -5$ число $n^2 + 5n + 16$ делится на 169.