Question

50 баллов Найти первые пять (ненулевых) членов разложения в степенной ряд решения ДУ с заданными начальными условиями. y''-2xy'+2y=0 y(0)=-1 y'(0)=2 Очень нуждаюсь в Вашей помощи. Заранее спасибо.

Answer 1

$y''-2xy'+2y=0\; ,\; \; y(0)=-1\; ,\; \; y'(0)=2$

Ищем решение в виде ряда Маклорена:

$y(x)=y(0)+y'(0)\cdot x+\frac{y''(0)}{2!}\cdot x^2+\frac{y'''(0)}{3!}\cdot x^3+\frac{y^{1V}(0)}{4!}\cdot x^4+...\\\\y''(x)=2xy'-2y\; \to \; y''(0)=2\cdot 0\cdot y'(0)-2\cdot y(0)=0-2\cdot (-1)=2\\\\y'''(x)=2\cdot y'+2x\cdot y''-2y'=2xy''\; \to \; y'''(0)=2\cdot 0\cdot y'(0)=0\\\\y^{1V}(x)=2y''+2xy'''\; \to \; y^{1V}(0)=2y''(0)+2xy'''(0)=2\cdot 2+2\cdot 0\cdot 0=4\\\\y^{V}(x)=2y'''+2y'''+2xy^{1V}=4y'''+2xy^{1V}\; \to \; y^{V}(0)=4\cdot 0+2\cdot 0\cdot 4=0\\\\y^{V1}(x)=4y^{1V}+2y^{1V}+2xy^{V}\; \to \; y^{V1}(0)=6\cdot 4+2\cdot 0\cdot 0=24$

Запишем ряд Маклорена:

$y=-1+2x+\frac{2}{2!}\cdot x^2+\frac{4}{4!}\cdot x^4+\frac{24}{6!}\cdot x^6+...\\\\y=-1+2x+x^2+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{30}x^6+...$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение методом степенного ряда с заданными начальными условиями.

Для начала, предположим, что решение имеет степенной ряд вида:

y(x) = ∑(n=0 до ∞) a_n * x^n

где a_n - коэффициенты разложения, которые мы будем находить, а x^n - степени x.

Шаг 1: Найдем производные y'(x) и y''(x):

y'(x) = ∑(n=0 до ∞) n * a_n * x^(n-1) (по правилу дифференцирования степени x) y''(x) = ∑(n=0 до ∞) n * (n-1) * a_n * x^(n-2) (по правилу дифференцирования степени x)

Шаг 2: Подставим y, y', y'' обратно в исходное дифференциальное уравнение:

y'' - 2xy' + 2y = ∑(n=0 до ∞) n * (n-1) * a_n * x^(n-2) - 2x * ∑(n=0 до ∞) n * a_n * x^(n-1) + 2 * ∑(n=0 до ∞) a_n * x^n = 0

Теперь проведем несколько преобразований:

1. Начнем с n = 0, так как нам нужно найти первые пять ненулевых членов разложения.
2. Для n = 0:

n = 0: -2 * a_0 * x^(-2) + 2 * a_0 = 0 a_0 = 1

3. Для n = 1:

n = 1: 0 * a_1 * x^(-1) - 2 * a_1 * x^0 + 2 * a_1 * x^1 = 0 -2 * a_1 + 2 * a_1 * x = 0 a_1 = 0

4. Для n = 2:

n = 2: 2 * a_2 * x^0 - 2 * a_2 * x^1 + 2 * a_2 * x^2 = 0 2 * a_2 - 2 * a_2 * x + 2 * a_2 * x^2 = 0 2 * a_2(1 - x + x^2) = 0 a_2 = 0 (поскольку a_2 не может быть равно нулю, иначе у нас получится тривиальное решение)

5. Для n = 3:

n = 3: 6 * a_3 * x^1 - 2 * a_3 * x^2 + 2 * a_3 * x^3 = 0 2 * a_3 * x(3 - x + x^2) = 0

Теперь у нас есть значения первых пяти коэффициентов:

a_0 = 1 a_1 = 0 a_2 = 0 a_3 = 0

Осталось найти a_4 и a_5:

6. Для n = 4:

n = 4: 24 * a_4 * x^2 - 2 * a_4 * x^3 + 2 * a_4 * x^4 = 0 2 * a_4 * x^2(12 - x + x^2) = 0 a_4 = 0 (по аналогии с a_2)

7. Для n = 5:

n = 5: 120 * a_5 * x^3 - 2 * a_5 * x^4 + 2 * a_5 * x^5 = 0 2 * a_5 * x^3(60 - x + x^2) = 0 a_5 = 0 (по аналогии с a_2 и a_4)

Таким образом, первые пять ненулевых членов разложения в степенной ряд для данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями y(0)=-1 и y'(0)=2 равны:

y(x) = a_0 * x^0 + a_1 * x^1 + a_2 * x^2 + a_3 * x^3 + a_4 * x^4 + a_5 * x^5 = 1 * x^0 + 0 * x^1 + 0 * x^2 + 0 * x^3 + 0 * x^4 + 0 * x^5 = 1

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями y(0)=-1 и y'(0)=2 имеет вид:

y(x) = 1

Пожалуйста, обратите внимание, что полученное решение является константой, а не функцией x. Это может показаться необычным, но это свойство данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.