Question

Найти четыре первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения Y'=X^2-Y^2 удовлетворяющего начальным условиям Y(0)=0

Answer 1

Решаю:

y'(0)=0+1=1

y''=1-1/(y^2)

y'''=2*1/(y^3)

y''''=-6*1/(y^4)

При x=0:

y(0)=1

y'(0)=1

y''(0)=0

y'''(0)=2

y''''(0)=-6

Решение имеет вид:

y=1+x/1!+0+2*(x^3)/3!+(-6)*(x^4)/4!+.....

Ответ:y=1+x/1!+2*(x^3)/3!+(-6)*(x^4)/4!+.....

Answer 2

Для нахождения первых четырех ненулевых членов разложения степенного ряда решения дифференциального уравнения $Y' = X^2 - Y^2$, удовлетворяющего начальным условиям $Y(0) = 0$, мы можем использовать метод Тейлора.

Сначала найдем первые несколько производных $Y$ по $X$:

1. $Y' = X^2 - Y^2$
2. $Y'' = 2X - 2Y \cdot Y'$
3. $Y''' = 2 - 2(Y')^2 - 2Y''Y$

И так далее.

Теперь мы можем создать степенной ряд для $Y(X)$ в окрестности $X = 0$:

$Y(X) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n$

где $a_n$ - это коэффициенты ряда.

Исходя из начального условия $Y(0) = 0$, мы знаем, что $a_0 = 0$.

Теперь мы можем найти остальные коэффициенты, подставив ряд в дифференциальное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $X$:

1. Подставляем $Y$ и $Y'$ в уравнение: $X^2 - \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right)^2 = \sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n$

2. Выражаем коэффициенты при $X^n$ для $n \geq 1$ и равняем их нулю. Мы будем находить коэффициенты один за другим. Начнем с $n = 1$:

   $X^2 - (a_0^2 X^0 + a_1 X^1)^2 = a_1 X^1$

   $X^2 - a_1^2 X^2 = a_1 X^1$

   Теперь мы можем найти $a_1$: $a_1^2 = 1$ $a_1 = \pm 1$

Таким образом, первый ненулевой коэффициент $a_1$ может быть равен $1$ или $-1$.

3. Теперь переходим к $n = 2$:

   $X^2 - (a_0^2 X^0 + a_1 X^1 + a_2 X^2)^2 = a_2 X^2$

   $X^2 - (a_2 X^2 + \ldots)^2 = a_2 X^2$

   Здесь мы видим, что коэффициент $a_2$ вносит вклад только в член с $X^4$ в левой части уравнения. Это означает, что $a_2$ не влияет на первые четыре ненулевых члена.

Таким образом, первые четыре ненулевых члена разложения в степенной ряд для $Y(X)$ будут:

1. $a_1 X^1$ (где $a_1 = 1$