Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) биссектриса АL делит боковую сторону на отрезки BL = 1, LC = корень из 3. Найти длину AL

Answer 1

Тогда  AB=1+sqrt(3) , по свойству биссектрисы AB/AC = 1/sqrt(3) AC=sqrt(3)+3

По формуле Стюарта  

AL =  (3+sqrt(3))*sqrt((1+sqrt(3))*(3+sqrt(3)+2+2*sqrt(3)))/(4+2*sqrt(3))  = (3+sqrt(3))/sqrt(2)

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник АВС и биссектрису АL. Мы знаем, что BL = 1 и LC = √3.

Пусть AL = x (длина биссектрисы).

Теперь воспользуемся теоремой биссектрисы, которая гласит, что биссектриса АL делит сторону BC пропорционально отношению длин отрезков BL и LC. Можно записать:

AL/BL = LC/CL

Подставим известные значения:

x/1 = √3/(x + √3)

Теперь решим уравнение относительно x:

x = √3/(x + √3)

x(x + √3) = √3

x^2 + √3x = √3

x^2 + √3x - √3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = √3, c = -√3

x = (-(√3) ± √((√3)^2 - 4 * 1 * -√3)) / 2 * 1

x = (-√3 ± √(3 + 12√3)) / 2

x = (-√3 ± √(3(1 + 4√3))) / 2

x = (-√3 ± √3√(1 + 4√3)) / 2

x = (-√3 ± √3√(1 + 4√3)) / 2

Теперь найдем два возможных значения x:

1. x = (-√3 + √3√(1 + 4√3)) / 2
2. x = (-√3 - √3√(1 + 4√3)) / 2

Заметим, что первое значение x положительно, а второе — отрицательно. В равнобедренном треугольнике длина биссектрисы должна быть положительной. Поэтому берем только первое значение:

x = (-√3 + √3√(1 + 4√3)) / 2

Теперь рассчитаем численное значение:

x ≈ 0.517

Итак, длина AL приблизительно равна 0.517.