Question

Система : x²-5x+4 больше или равно нулю 2x²-5x+2 меньше или равно нулю

Answer 1

Приравнять к нулю, и решить через дискриминант, что сложного то???

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно определить интервалы значений переменной x, при которых выполняются указанные условия.

Начнем с первого неравенства:

1. x² - 5x + 4 ≥ 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, следует использовать метод интервалов или диаграммы знаков. Но здесь мы воспользуемся более простым способом, а именно, факторизацией квадратного выражения:

x² - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)

Теперь найдем значения x, при которых данное выражение равно нулю: x - 4 = 0 => x = 4 x - 1 = 0 => x = 1

Теперь разделим ось чисел на три части: отрицательная область, область между корнями и положительная область. Для определения знака в каждой области можно взять тестовую точку и подставить ее в исходное уравнение:

Выберем x = 0 (отрицательная область): (0 - 4)(0 - 1) = (-4)(-1) = 4, что является положительным числом.

Выберем x = 2 (область между корнями): (2 - 4)(2 - 1) = (-2)(1) = -2, что является отрицательным числом.

Выберем x = 5 (положительная область): (5 - 4)(5 - 1) = (1)(4) = 4, что является положительным числом.

Теперь обобщим результаты: x² - 5x + 4 ≥ 0 имеет два корня x = 1 и x = 4. Исходное выражение положительно на интервалах (-∞, 1] и [4, ∞) и отрицательно на интервале (1, 4).

Теперь перейдем ко второму неравенству: 2x² - 5x + 2 ≤ 0

Снова воспользуемся факторизацией:

2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)

Теперь найдем значения x, при которых данное выражение равно нулю: 2x - 1 = 0 => 2x = 1 => x = 1/2 x - 2 = 0 => x = 2

Теперь проведем аналогичную проверку на знак в трех областях:

Выберем x = 0 (отрицательная область): (2(0) - 1)(0 - 2) = (-1)(-2) = 2, что является положительным числом.

Выберем x = 1 (область между корнями): (2(1) - 1)(1 - 2) = (1)(-1) = -1, что является отрицательным числом.

Выберем x = 3 (положительная область): (2(3) - 1)(3 - 2) = (5)(1) = 5, что является положительным числом.

Теперь обобщим результаты: 2x² - 5x + 2 ≤ 0 имеет два корня x = 1/2 и x = 2. Исходное выражение отрицательно на интервале (1/2, 2] и положительно на интервалах (-∞, 1/2) и [2, ∞).

Итак, решение системы неравенств состоит из объединения интервалов, где оба неравенства выполняются одновременно:

Решение: x ∈ (-∞, 1/2] ∪ [4, ∞).