Question

Как решить уравнение по методу Гауса? 5x-5y+3z=26 3x-y-5z=30 4x-3y-3=34

Answer 1

Для решения системы уравнений методом Гаусса (или методом исключения) нужно привести систему к ступенчатому или улучшенному ступенчатому виду. Затем выразить переменные одну за другой, начиная с последнего уравнения и двигаясь к первому. Давайте выполним шаги по порядку:

1. Запишем исходную систему уравнений: 5x - 5y + 3z = 26 ...(1) 3x - y - 5z = 30 ...(2) 4x - 3y - 3z = 34 ...(3)

2. Преобразуем уравнения так, чтобы получить улучшенный ступенчатый вид. a) Приведем коэффициенты уравнения (2) к целым числам, поделив все коэффициенты на -1: -3x + y + 5z = -30

   б) Приведем коэффициенты уравнения (3) к целым числам, поделив все коэффициенты на -1: -4x + 3y + 3z = -34

   Теперь система примет вид: 5x - 5y + 3z = 26 ...(1) -3x + y + 5z = -30 ...(4) -4x + 3y + 3z = -34 ...(5)

3. Используем метод исключения, чтобы избавиться от переменных по одной за раз. Сначала избавимся от переменной x. a) Умножим уравнение (4) на 5 и уравнение (1) на 3, затем сложим их: 5(-3x + y + 5z) + 3(5x - 5y + 3z) = -30 + 78 -15x + 5y + 25z + 15x - 15y + 9z = 48 -10y + 34z = 48

   б) Теперь избавимся от переменной y. Для этого умножим уравнение (4) на 3 и уравнение (5) на 5, затем сложим их: 3(-3x + y + 5z) + 5(-4x + 3y + 3z) = -90 - 170 -9x + 3y + 15z - 20x + 15y + 15z = -260 -29x + 18z = -260

4. Решим полученное уравнение относительно x: -29x + 18z = -260 -29x = -260 - 18z x = (260 + 18z) / 29

5. Теперь найдем значение y, используя одно из исходных уравнений. Для примера, возьмем уравнение (1): 5x - 5y + 3z = 26 Подставим найденное значение x: 5((260 + 18z) / 29) - 5y + 3z = 26 (260 + 18z) - 5y + 3z = 26 * 29 260 + 18z - 5y + 3z = 754 -5y + 21z = 494

6. Теперь решим уравнение относительно y: -5y + 21z = 494 -5y = 494 - 21z y = (494 - 21z) / 5

Таким образом, мы получили выражения для x и y через переменную z. Вы можете подставить любое значение z и получить соответствующие значения x и y, что даст вам решение системы уравнений.