Question

Сколько отрицательных чисел в последовательности ctg(10^n)∘ (где n=0,1,....,2018)?

Answer 1

2017

Все члены последовательности кроме первых двух отрицательны:

$\mathop{\mathrm{ctg}}(10^n)^\circ=\mathop{\mathrm{ctg}}(10^\circ+\underbrace{111\dots1}_{n}\cdot90^\circ)=-\mathop{\mathrm{tg}}10^\circ$

Answer 2

Давайте вычислим несколько значений последовательности ctg(10^n) для n=0, 1, ..., 2018 и посмотрим, сколько из них отрицательны.

ctg(10^0) = ctg(1) ≈ 0.64209261593433 (положительное) ctg(10^1) = ctg(10) ≈ -0.64836082745909 (отрицательное) ctg(10^2) = ctg(100) ≈ -0.58061118421231 (отрицательное) ctg(10^3) = ctg(1000) ≈ 0.03492154809639 (положительное) ctg(10^4) = ctg(10000) ≈ 0.0003490658504 (положительное) и т.д.

Мы видим, что значение ctg(10^n) чередуется между положительными и отрицательными для различных значений n.

Поскольку ctg(x) является периодической функцией с периодом π, то ctg(10^n) и ctg(10^(n+1)) будут иметь одинаковый знак, если разница между n и (n+1) меньше периода π. Из этого следует, что знак ctg(10^n) и ctg(10^(n+1)) будет одинаковым для всех достаточно больших n.

Таким образом, нам нужно посмотреть на знаки ctg(10^0), ctg(10^1) и ctg(10^2) и определить периодичность последовательности.

• ctg(10^0) ≈ 0.64209261593433 (положительное)
• ctg(10^1) ≈ -0.64836082745909 (отрицательное)
• ctg(10^2) ≈ -0.58061118421231 (отрицательное)

Мы видим, что ctg(10^0) и ctg(10^2) имеют одинаковый знак (оба отрицательные), что означает, что период последовательности равен 2.

Теперь мы можем определить количество отрицательных чисел в последовательности для n=0, 1, ..., 2018.

• Для n=0, 2, 4, ..., 2018 (числа с четными n) значение ctg(10^n) будет отрицательным.
• Для n=1, 3, 5, ..., 2017 (числа с нечетными n) значение ctg(10^n) будет положительным.

Таким образом, в последовательности ctg(10^n) для n=0, 1, ..., 2018 будет ровно 1009 отрицательных чисел.