Question

2cos²x+2cosx=3sin2x помогите как решить школьный курс забыл , а тут такое

Answer 1

.......................................................................

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое у нас есть: 2cos²x + 2cosx = 3sin2x

Первым шагом заменим sin2x на 2sinxcosx (это тождество): 2cos²x + 2cosx = 3 * 2sinxcosx

Теперь у нас есть уравнение только с cos и sin:

2cos²x + 2cosx = 6sinx*cosx

Заменим cos²x на (1 - sin²x) (это тождество): 2(1 - sin²x) + 2cosx = 6sinx*cosx

Раскроем скобки и упростим: 2 - 2sin²x + 2cosx = 6sinx*cosx

Перенесем все элементы в одну часть уравнения: 2cosx - 2sin²x - 6sinx*cosx + 2 = 0

Теперь обратим внимание на синусы и косинусы. Заменим cosx на (1 - sin²x) (еще одно тождество): 2(1 - sin²x) - 2sin²x - 6sinx(1 - sin²x) + 2 = 0

Упростим: 2 - 2sin²x - 2sin²x - 6sinx + 6sin³x + 2 = 0

Сгруппируем слагаемые: 4 - 4sin²x + 6sin³x - 6sinx = 0

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно sinx. Мы можем попробовать решить его методом подбора корней или другими методами решения кубических уравнений.

Воспользуемся фактом, что sinx = 0 является одним из корней уравнения. Поделим уравнение на sinx: (4 - 4sin²x + 6sin³x - 6sinx) / sinx = 0

Теперь, если sinx ≠ 0, можем сократить на sinx: 4 - 4sinx + 6sin²x - 6 = 0

Упростим: 6sin²x - 4sinx - 2 = 0

Поделим все на 2: 3sin²x - 2sinx - 1 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение относительно sinx. Решим его, используя квадратную формулу: sinx = (-(-2) ± √((-2)² - 4 * 3 * (-1))) / (2 * 3) sinx = (2 ± √(4 + 12)) / 6 sinx = (2 ± √16) / 6 sinx = (2 ± 4) / 6

Таким образом, у нас есть два возможных значения для sinx:

1. sinx = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
2. sinx = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Теперь, когда у нас есть значения sinx, мы можем найти соответствующие значения cosx, используя уравнение (1 - sin²x):

1. Если sinx = 1: cosx = √(1 - sin²x) = √(1 - 1) = √0 = 0

2. Если sinx = -1/3: cosx = √(1 - sin²x) = √(1 - (-1/3)²) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8 / 3

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. x = arcsin(1) = π/2 + 2πk, где k - целое число.
2. x = arcsin(-1/3) + 2πk или x = π - arcsin(-1/3) + 2πk, где k - целое число.