Question

Доведіть, що існує площина, яка перетинає дану площину

Answer 1

У просторі є безліч точок. Адже простір містить площину(аксіома 1), а множина точок площини безкінечна. З аксіом С1 іС2 випливає, що в просторі є безліч площин. Тоді існує щонайменше одна площина, що перетинає дану

Answer 2

Для того, щоб довести, що існує площина, яка перетинає дану площину, давайте спочатку визначимо умови задачі. Припустимо, що у нас є дві плоскості в тривимірному просторі.

Площина 1: Представимо площину 1 у вигляді загального рівняння площини: Ax + By + Cz + D1 = 0, де A, B, C - не всі рівні нулю, щоб мати ненульовий нормальний вектор площини.

Площина 2: Площина, яка перетинає площину 1, у вигляді загального рівняння площини: Ex + Fy + Gz + D2 = 0, де E, F, G - не всі рівні нулю і (E, F, G) - нормальний вектор площини 2.

Тепер нам треба знайти такі значення A, B, C, D1, E, F, G, D2, при яких існує перетин площини 1 і площини 2.

Щоб площини перетинались, у них повинен бути спільний прямий напрямок. Це означає, що їх нормальні вектори повинні бути лінійно залежними.

Вектор нормалі площини 1: (A, B, C) Вектор нормалі площини 2: (E, F, G)

Вони будуть лінійно залежними, якщо їх скалярний добуток буде рівний нулю:

AE + BF + C*G = 0

Отже, якщо ми знайдемо такі A, B, C, E, F, G, що виконується ця рівність, то існує безліч площин, які перетинають площину 1 і мають загальну пряму напрямок з площиною 2.

Однак варто зазначити, що є безліч можливих площин, які перетинають площину 1. Отже, нам потрібно додаткові обмеження або точки для того, щоб однозначно визначити конкретну площину перетину. Наприклад, якщо ми задамо точку, через яку повинна проходити площина перетину, тоді можемо знайти конкретне рівняння цієї площини.