Question

Найдите для функции общий вид первообразной: f(x)=2x^3/ подробно

Answer 1

Применим табличный интеграл от степенной функции

\int\limits {x^n} \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +C

Перед этим сделаем некоторые преобразования, чтобы дифференциал совпадал с функцией.

\int\limits {2 (3x+1)^5} \, dx =2 \int\limits { \frac{1}{3} (3x+1)^5} \, d(3x) = \frac{2}{3} \int\limits { (3x+1)^5} \, d(3x+1) = \\ \\ = \frac{2}{3} * \frac{1}{5+1} (3x+1)^{5+1} + C = \frac{1}{9} (3x+1)^6 + C

Answer 2

Для того чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = 2x^3, мы будем использовать процесс обратного дифференцирования, который называется интегрированием.

Интегрирование - это обратный процесс дифференцирования. Если f(x) является производной некоторой функции F(x), тогда функция F(x) называется первообразной функции f(x), и мы обозначаем это как:

F(x) = ∫f(x) dx + C,

где ∫ обозначает знак интеграла, f(x) - интегрируемая функция, dx - дифференциал переменной x, а C - произвольная постоянная, которую называют постоянной интегрирования.

Теперь, чтобы найти первообразную для функции f(x) = 2x^3, мы интегрируем её по переменной x:

∫2x^3 dx

Для интегрирования многочлена нам нужно использовать следующие формулы:

1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

2. ∫a dx = ax + C, где "a" - константа.

Применяя формулу (1) к нашему случаю (где n = 3), получаем:

∫2x^3 dx = (2/(3+1)) * x^(3+1) + C = (2/4) * x^4 + C = (1/2) * x^4 + C.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = 2x^3 равен F(x) = (1/2) * x^4 + C, где C - произвольная постоянная.