Question

в треугольнике abc с тупым углом abc проведены высоты aa1 и bb1. докажите что треугольники a1b1c и abc подобны

Answer 1

треугольник аа1с ∞ бб1с ( по трем углам )

k - коэффициент подобия

сб1 = с

а1с = kc

bb1 = b

aa1 = kb

cb = a

ca = ka

треугольник а1сб1 ∞ асб ( две стороны подобны и углы между ними равны )

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников A1B1C и ABC, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, и соотношение сторон одинаково.

Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, а длины сторон треугольника A1B1C как a1, b1 и c1.

1. Равенство углов: Треугольники ABC и A1B1C имеют общий угол в вершине C (поскольку высоты проведены из вершины C в стороны AB и A1B1 соответственно).

2. Равенство другого угла: Так как высота BB1 проведена из вершины B треугольника ABC, она перпендикулярна стороне AC. Это означает, что угол B1A1C в треугольнике A1B1C также является прямым углом, так как BB1 является высотой треугольника A1B1C. Таким образом, угол B1A1C в треугольнике A1B1C равен углу BAC в треугольнике ABC.

3. Равенство третьего угла: Так как треугольник ABC — прямоугольный, его третий угол BAC является острым (в данном случае тупым). Следовательно, третий угол A1B1C в треугольнике A1B1C также является острым (в данном случае тупым).

Таким образом, мы доказали, что углы треугольника A1B1C соответственно равны углам треугольника ABC.

4. Соотношение сторон: Для доказательства подобия треугольников нам также нужно показать, что соотношение длин их сторон одинаково. Рассмотрим отношения длин сторон:

a1/a = (A1C/AС) (по определению подобных треугольников) b1/b = (B1C/BC) (по определению подобных треугольников)

Так как обе высоты проведены из вершин с общим углом, а высота является перпендикуляром к основанию, то отношения высот и сторон равны:

A1C/AC = B1C/BC = 1 (по определению высоты)

Таким образом, a1/a = b1/b = c1/c = 1, что означает, что соотношение сторон обоих треугольников одинаково.

В результате треугольники A1B1C и ABC подобны по двум углам и соотношению сторон, что завершает доказательство.