Question

При каком значении параметра Е векторы α, β и с компланарны? Желательно подробное решение α = (–2; 6; –5), β = (5; 6; 3), с = (–6; –8; α). Ответ: Е =

Answer 1

Условие компланарности α, β и с:
$c = mα+nβ\\ (x_c;y_c;z_c) = \\ = m (x_ \alpha ;y_ \alpha ;z_ \alpha ) + n(x_ \beta ;y_ \beta ;z_ \beta ) = \\ = (mx_ \alpha + nx_ \beta \: ;my_ \alpha + y_ \beta \: ;mz_ \alpha + nz_ \beta \:)$
распишем покоординатно,
учитывая, что
α = (–2; 6; –5), β = (5; 6; 3), с = (–6; –8; Е).

-2m+5n=-6
6m+6n=-8
-5m+3n=Е

из первых двух уравнений следует
система:

$\left \{ {{-2m+5n=-6} \atop no numeric noise key 1061} \right. \\ {{-6m+15n =-18} 1060} 21n=- 26 n =- \fracno numeric noise key 1059no numeric noise key 1058 =- 1 1057no numeric noise key 1056 m = 2.5n + 3 1055no numeric noise key 1054 \cdot ( - 1053no numeric noise key 1052) \frac{ 65 63}no numeric noise key 1051 =- 1050no numeric noise key 1049$
поэтому
$E = -5m+3n= \\ = - 5 \cdot ( - \frac{2}{21} ) + 3( - \frac{26}{21} ) = \\ = \frac{10 - 78}{21} = - \frac{68}{21 } = - 3 \frac{5}{21}$
Ответ
$E = - 3 \frac{5}{21}$

Answer 2

Для того чтобы векторы α, β и с были компланарны (лежали в одной плоскости), определитель матрицы, составленной из этих векторов, должен равняться нулю.

Пусть матрица M состоит из векторов α, β и с в качестве её столбцов:

M = [α, β, с]

Тогда условие компланарности векторов α, β и с может быть записано как:

det(M) = 0

Составим матрицу M и вычислим её определитель:

M = | -2 5 -6 | | 6 6 -8 | | -5 3 α |

det(M) = (-2 * 6 * α) + (5 * 6 * -5) + (-6 * 6 * -8) - (-5 * 6 * -6) - (3 * 6 * -2) - (α * 5 * -8)

det(M) = (-12α) + (-150) + (288) - (180) - (36) - (-40α) det(M) = -12α - 150 + 288 - 180 - 36 + 40α det(M) = 28α + 78

Теперь приравняем определитель к нулю и решим уравнение:

28α + 78 = 0 28α = -78 α = -78 / 28 α = -2.7857 (приближенно)

Таким образом, при α ≈ -2.7857 векторы α, β и с будут компланарными.