Question

верно ли что среди любых 18 идущих подряд натуральных чисел обязательно найдётся хотя бы одно, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11?

Answer 1

нет не верно

.................................

Answer 2

на 2 не делятся 3 5 7 9 15 17 19 21и.т
на 3 не делятся 2 4 5 7 8 11 13 15 14 16 17 19 22и.т
на 5 не делятся 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17 18 19 21и.т
на 7 не делятся 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20 21и.т
на 11 неделятся 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 17 18 19и.т

Answer 3

Да, это верно. Это утверждение является следствием китайской теоремы об остатках.

По сути, данное утверждение утверждает, что существует хотя бы одно число среди любых 18 идущих подряд натуральных чисел, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11. Давайте разберемся, почему это так.

Рассмотрим остатки чисел при делении на 2, 3, 5, 7 и 11:

1. Остатки при делении на 2: 1 или 0.
2. Остатки при делении на 3: 1, 2 или 0.
3. Остатки при делении на 5: 1, 2, 3, 4 или 0.
4. Остатки при делении на 7: 1, 2, 3, 4, 5 или 0.
5. Остатки при делении на 11: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 0.

Теперь рассмотрим произведение 18 последовательных чисел:

N = n * (n + 1) * (n + 2) * ... * (n + 17).

Если n делится на 2, то (n + 9) также делится на 2 (потому что между ними 9 четных чисел). Точно так же, если n делится на 3, (n + 9) делится на 3, и так далее.

Таким образом, остатки чисел N и N + 9 при делении на 2, 3, 5, 7 и 11 будут одинаковыми. Это означает, что среди 18 последовательных чисел найдется пара чисел, одно из которых делится на 2, а другое - нет.

Теперь, так как у нас уже есть пара чисел с разными остатками при делении на 2, то у этих чисел обязательно будут разные остатки при делении на 3, 5, 7 и 11 (поскольку эти числа тоже отличаются на 9). Таким образом, среди этих 18 чисел будет хотя бы одно, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11.

Таким образом, утверждение верно.