Question

Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение высоты из вершины А и её длину; 3) уравнение медианы из вершины А; 4) записать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС; 5) построить чертеж. 9. А(7;4) В(–9; –8) С(–2;16).

Answer 1

а) Составим уравнение стороны АВ в виде канонического уравнения прямой:
Вектор АВ (5-6=1, 5-1=4) = АВ (1,4)
Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором АВ проходящей через точку А:
(x - 6)/1 = (y - 1)/4
b) Уравнение высоты АH. Составим общее уравнение прямой АН, используя ортогональный вектор ВС.
Вектор ВС (2-5=-3, 10-5=5) = BC(-3, 5)
тогда уравнение прямой будет выглядеть так:
-3x + 5y + d = 0
чтобы найти постоянную d подставим в уравнение координаты точки А:
-3*6 + 5*1 + d = 0
-13 + d = 0 
d = 13
Итого уравнение прямой AH:
-3x + 5y + 13 = 0
c) Уравнение медианы BM
найдем точку M - середину отрезка АС:
x = (6 + 2)/2 = 4
y = (1 + 10)/2 = 5.5
Итого М (4, 5.5)
Вектор ВМ ( 4-5=1, 5.5-5=0.5) = ВМ (1, 0.5)
Каноническое уравнение прямой ВМ:
(x - 5)/1 = (y - 5)/0.5
d) Точка пересечения АН и ВМ
Преобразуем уравнение ВМ к общему виду:
x - 5 = (y - 5)/1/2 = 2y - 10
x - 2y + 5 = 0
Далее решая систему:
-3x + 5y + 13 = 0
x - 2y + 5 = 0
получим координаты точки пересечения.
Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому:
-3x + 3x + 5y - 6y + 13 + 15 = -y + 28 = 0
y = 28
Подставим у = 28 во второе уравнение:
x - 56 + 5 = 0
x = 51
Итого, точка пересечения медианы BM и высоты AH :
D( 51, 28)
Если неправильно то прости)))

Answer 2

Чтобы найти различные характеристики треугольника ABC, нам понадобятся различные формулы и свойства треугольников. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди:

1. Длина стороны ВС (BC): Для вычисления длины стороны BC (стороны между вершинами B и C) применим формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин B и C соответственно.

Для нашего случая: B(-9, -8) и C(-2, 16).

$BC = \sqrt{(-2 - (-9))^2 + (16 - (-8))^2} = \sqrt{(7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25.$

Таким образом, длина стороны BC равна 25.

2. Уравнение высоты из вершины А и её длина: Высота из вершины А перпендикулярна стороне ВС и проходит через вершину А. Для нахождения уравнения высоты, нам необходимо найти координаты точки пересечения высоты с стороной ВС и затем записать уравнение этой прямой.

Поскольку высота перпендикулярна стороне ВС, то её угловой коэффициент будет равен -1/угловому коэффициенту стороны ВС. Найдем угловой коэффициент стороны ВС:

$m_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{16 - (-8)}{-2 - (-9)} = \dfrac{24}{7}.$

Угловой коэффициент высоты равен -1/угловому коэффициенту стороны ВС:

$m_{height} = -\dfrac{1}{m_{BC}} = -\dfrac{1}{\dfrac{24}{7}} = -\dfrac{7}{24}.$

Теперь, чтобы найти уравнение прямой высоты (y = mx + b), подставим координаты точки А (7, 4):

$4 = -\dfrac{7}{24} \cdot 7 + b \implies b = 4 + \dfrac{7}{24} \cdot 7 = 4 + \dfrac{49}{24} = \dfrac{97}{24}.$

Таким образом, уравнение высоты из вершины А:

$y = -\dfrac{7}{24}x + \dfrac{97}{24}.$

Чтобы найти длину высоты, найдем расстояние от вершины А до точки пересечения высоты и стороны ВС.

Для этого, рассчитаем расстояние от точки А до точки пересечения:

$d_{height} = \dfrac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}},$

где A, B, C - коэффициенты уравнения высоты.

В уравнении высоты $y = -\dfrac{7}{24}x + \dfrac{97}{24}$ коэффициенты равны: A = 7/24, B = 1 и C = -97/24.

$d_{height} = \dfrac{|7x + y - \dfrac{97}{24}|}{\sqrt{\left(\dfrac{7}{24}\right)^2 + 1^2}}.$

Теперь, чтобы найти точку пересечения высоты с стороной ВС, решим систему уравнений высоты и стороны ВС:

$\begin{cases} y = -\dfrac{7}{24}x + \dfrac{97}{24} \\ BC: y = mx + b \end{cases}.$