Question

Организаторы праздничного концерта попросили у шести артистов, чтобы продолжительность их выступлений была кратна 10 минутам. В итоге каждый артист выступил со своей программой, концерт продлился ровно 3 часа. Докажите, что хотя бы у двоих артистов программа продлилась одинаковое число минут.

Answer 1

3 часа равно 180 минут

теперь

минимальное число кратное 10- 10

тогда допустим что первое выступление - 10 минут и так далее

имеем:

10+20+30+40+50=150 мин

это длительность выступлений первых пяти артистов.

теперь для того чтобы у нас вышло 3 часа нужно чтобы 6-ой артист выступал 30 мин. а так как с такой же продолжительностью выступления выступал 3-ий артист то имеем что как минимум 2 выступления повторяются

прошу поставить мне лучшее решение

Answer 2

3ч=180 мин. 180:10=18 частей времени общего. Если у всех бы было разное время то 1+2+3+4+5+6=21 частей понадобилось бы на концерт, а у нас 18. Значит, хотя бы у двоих время было одинаковым.

Answer 3

Давайте докажем это утверждение методом противоположного предположения (от противного).

Предположим, что ни у двух артистов программа не продлилась одинаковое число минут. Это значит, что у каждого артиста продолжительность выступления была уникальна и различалась от продолжительности всех остальных артистов.

Посмотрим на возможные продолжительности выступлений каждого артиста (предполагаем, что продолжительность измеряется в минутах):

1. Артист 1: A1
2. Артист 2: A2
3. Артист 3: A3
4. Артист 4: A4
5. Артист 5: A5
6. Артист 6: A6

Так как уникальность продолжительности подразумевает, что никакие два артиста не имеют одинаковую продолжительность выступления, то каждый из них будет иметь различные значения A1, A2, A3, A4, A5 и A6.

Суммарная продолжительность всех шести выступлений составит: Total_duration = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6

По условию задачи мы знаем, что суммарная продолжительность всех выступлений составляет ровно 3 часа, что равно 180 минутам:

Total_duration = 180 минут

Теперь давайте рассмотрим возможные значения продолжительности выступлений, которые могут быть кратны 10 минутам:

0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180

Мы заметим, что каждое из чисел 0, 10, 20, ..., 180 может быть представлено в виде суммы двух различных чисел из этого же набора.

Теперь рассмотрим возможные комбинации сумм двух различных чисел из этого набора:

• 0 + 10 = 10
• 0 + 20 = 20
• ...
• 0 + 180 = 180
• 10 + 20 = 30
• 10 + 30 = 40
• ...
• 10 + 180 = 190 (не подходит, так как больше 180 минут)
• 20 + 30 = 50
• ...
• 170 + 180 = 350 (не подходит, так как больше 180 минут)

Таким образом, мы можем составить суммы, давая нам каждую продолжительность от 10 до 180 минут включительно (за исключением 190 и 350).

Возвращаясь к предположению, что у каждого артиста продолжительность выступления уникальна, это означает, что для каждого артиста его продолжительность должна быть уникальным числом из приведенного списка сумм. Но в списке есть всего 171 уникальное число (от 10 до 180). А у нас шесть артистов. Это противоречие!

Следовательно, наше предположение было неверным, и хотя бы у двух артистов программа должна была продлиться одинаковое число минут.