Question

некоторые стороны клеток на доске (8х8) окрашены в красный цвет,а другие в синий.Разрешается произвольно выбирать клетку доски и перекрашивать все ее стороны одновременно в противоположный цвет. Всегда ли можно сделать несколько перекрашиваний так, чтобы синих стало 1/4 от всего кол-ва сторон клеток?

Answer 1

Покрасим все стороны клеток в красный цвет, кроме одной. Инвариант - чётность количества синих сторон. Пусть у клетки было:

(слева - кол-во красных сторон, справа - кол-во синих сторон)

4/0 --> 0/4

3/1 --> 1/3

2/2 --> 2/2

1/3 --> 3/1

0/4 --> 4/0

Значит, количество синих сторон будет изменяться на 0, 2 или 4. Надо сделать 36 синих сторон, но 36 - число чётное, а 1 - нечётное. Противоречие.

Ответ: Не всегда.

Answer 2

Да, всегда можно сделать несколько перекрашиваний так, чтобы количество синих сторон стало составлять 1/4 от всего количества сторон на доске.

Обозначим через "R" количество красных сторон и через "B" количество синих сторон на доске в начале.

Так как на доске 8x8 всего 8 клеток по периметру, то всего сторон на доске будет 2 * (8 + 8) = 32.

Таким образом, у нас есть уравнение: R + B = 32

И условие задачи: B = 1/4 * (R + B)

Подставим значение B из второго уравнения в первое: R + 1/4 * (R + B) = 32

Раскроем скобку: R + 1/4 * R + 1/4 * B = 32

Упростим: 5/4 * R = 32

Теперь найдем значение R: R = 32 * 4/5 = 25.6

Так как количество сторон должно быть целым числом, округлим R до ближайшего целого числа, получим R = 26.

Теперь найдем значение B: B = 32 - R = 32 - 26 = 6

Таким образом, в начальной раскраске на доске было 26 красных сторон и 6 синих сторон. Мы можем выбрать клетку, имеющую красную сторону, и перекрасить все ее стороны в синий цвет. Теперь у нас будет 25 красных сторон и 7 синих сторон. Повторив этот процесс еще 1 раз, получим 24 красных стороны и 8 синих сторон, что соответствует условию задачи.