Question

Если треугольник ТSP равен треугольнику TQR, докажите что четырехугольник PQRS является параллелограммом. Запишите доказательства в виде текста.

Answer 1

Параллелограмм как четырехугольник имеет не только попарно равные стороны, но они ещё должны быть и параллельны.

Условие, что ΔSTP = ΔQRP является обязательным, но не достаточным.

Стороны SP и RQ будут параллельны, если ∠FTQ будет = 0, т.е. STQ является прямой линией.

Answer 2

Доказательство:

Дано: Треугольник ТSP равен треугольнику TQR.

Нам нужно доказать, что четырехугольник PQRS является параллелограммом.

Для начала, рассмотрим равенство треугольников ТSP и TQR. Равенство треугольников означает, что у них равны все три стороны и все три угла. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

1. TS = TQ (по условию равенства треугольников)
2. SP = QR (по условию равенства треугольников)
3. Угол T = Угол T (общий угол у равных треугольников)
4. Угол S = Угол R (общий угол у равных треугольников)
5. Угол P = Угол Q (общий угол у равных треугольников)

Теперь докажем, что четырехугольник PQRS является параллелограммом.

1. Докажем, что PS || QR: Рассмотрим углы P и Q. По свойству равных треугольников, угол P = Угол Q (из пункта 5). Альтернативные углы при параллельных прямых равны, следовательно, угол P = Угол R (из пункта 4). Таким образом, угол P = Угол Q = Угол R, что означает, что прямые PS и QR параллельны.

2. Докажем, что PQ || RS: Рассмотрим углы S и T. По свойству равных треугольников, угол S = Угол T (из пункта 4). Альтернативные углы при параллельных прямых равны, следовательно, угол S = Угол T (из пункта 3). Таким образом, угол S = Угол T, что означает, что прямые PQ и RS параллельны.

Таким образом, мы доказали, что обе пары противоположных сторон четырехугольника PQRS параллельны: PS || QR и PQ || RS. Следовательно, четырехугольник PQRS является параллелограммом.