Question

Дано дифференциальное уравнение второго порядка и его начальные условия. Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение. y'"cos^4x=-sin2x y(π)=0, y’(π)=2, y(π)”=-1

Answer 1

$y'''=-\frac{2sinxcosx}{cos^4x}\\y''=2\int\frac{d(cosx)}{cos^3x}=-\frac{1}{cos^2x}+C_1\\y''(\pi)=-1\ |-1=-\frac{1}{1}+C_1=>C_1=0\\y'=-\int\frac{dx}{cos^2x}=-tgx+C_2\\y'(\pi)=2\ |2=C_2\\y=\int(-tgx+2)dx=ln|cosx|+2x+C_3\\y(\pi)=-1\ |-1=2\pi+C_3=>C_3=-1-2\pi\\y=ln|cosx|+2x-2\pi-1$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка сначала найдем общее решение, а затем, используя начальные условия, определим частное решение.

Данное уравнение имеет вид:

y'' + sin(2x)*y' - cos^4(x)*y = 0

Для того чтобы найти общее решение, предположим, что y(x) имеет вид степенного ряда:

y(x) = ∑[n=0 до ∞] a_n * x^n

где a_n - коэффициенты, которые нужно найти. Таким образом, мы предполагаем, что y(x) является бесконечно дифференцируемой функцией.

Найдем производные функции y(x):

y'(x) = ∑[n=1 до ∞] a_n * n * x^(n-1) y''(x) = ∑[n=2 до ∞] a_n * n * (n-1) * x^(n-2)

Теперь заменим найденные производные в исходном уравнении:

∑[n=2 до ∞] a_n * n * (n-1) * x^(n-2) + sin(2x) * ∑[n=1 до ∞] a_n * n * x^(n-1) - cos^4(x) * ∑[n=0 до ∞] a_n * x^n = 0

Теперь приведем уравнение к единому виду с суммой:

∑[n=2 до ∞] a_n * n * (n-1) * x^(n-2) + ∑[n=1 до ∞] a_n * n * x^(n-1) * sin(2x) - ∑[n=0 до ∞] a_n * x^n * cos^4(x) = 0

Для того чтобы выразить выражение в виде суммы, соответствующей одной степенной функции, мы должны сделать следующую замену индексов сумм:

m = n - 2 (для первой суммы) m = n - 1 (для второй суммы) m = n (для третьей суммы)

Теперь уравнение примет вид:

∑[m=0 до ∞] a_(m+2) * (m+2) * (m+1) * x^m + ∑[m=0 до ∞] a_(m+1) * (m+1) * x^m * sin(2x) - ∑[m=0 до ∞] a_m * x^m * cos^4(x) = 0

Теперь объединим суммы:

∑[m=0 до ∞] (a_(m+2) * (m+2) * (m+1) * x^m + a_(m+1) * (m+1) * x^m * sin(2x) - a_m * x^m * cos^4(x)) = 0

Так как это должно выполняться для любого значения x, то коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны нулю:

a_(m+2) * (m+2) * (m+1) + a_(m+1) * (m+1) * sin(2x) - a_m * cos^4(x) = 0

Теперь определим начальные условия:

y(π) = 0 y'(π) = 2 y''(π) = -1

Подставим x = π в выражение для y(x):

y(π) = ∑[n=0 до ∞] a_n * π^n = a_0 * π^0 = a_0

Подставим x = π в выражение для y'(x):

y'(π) = ∑[n=1 до ∞] a_n * n * π^(n-1) = a_1 * π^0 = a_1

Подставим x = π в выражение для y''(x):

y''(π) = ∑[n=2 до ∞] a_n * n * (n-1) * π^(n-2) = 2 * a_2 * π^0 = 2 * a_2

Теперь у нас есть система уравнений для начальных условий:

a_0 = 0 a_1 = 2 2 * a_2 = -1

Из третьего уравнения получаем:

a_2 = -1/2

Теперь, используя значения a_0, a_1 и a_2, можем записать общее решение:

y(x) = a_0 * x^0 + a_1 * x^1 + a_2 * x^2 + ∑[n=3 до ∞] a_n * x^n

y(x) = 2x - (1/2)x^2 + ∑[n=3 до ∞] a_n * x^n

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка:

y(x) = 2x - (1/2)x^2 + ∑[n=3 до ∞] a_n * x^n

Однако, чтобы найти частное решение, требуется дополнительная информация о граничных условиях или условиях в другой точке. В данном случае у нас есть начальные условия только в точке x=π. Если у вас есть дополнительные условия или точка, в которой нужно найти частное решение, пожалуйста, уточните их, и я смогу помочь найти соответствующее частное решение.