Question

Вычислить предел : 1) lim x-0 (tg4x*ln2x)/x 2)lim x-3 (2x-6)/(√(x-3)-√(2x-6)) Найти дифференциал функции dy: y=(2x-3)/(x^3-8e^(3x)+4)

Answer 1

Ловите пределы и дифференциал. Удачи!

Answer 2

1. Вычислим предел первого выражения: lim x→0 (tg4x*ln2x)/x.

Для удобства, заменим tg(4x) на sin(4x)/cos(4x):

lim x→0 (sin(4x)/cos(4x) * ln(2x)) / x.

Теперь используем замечательный предел:

lim x→0 (sin(x)/x) = 1.

И lim x→0 ln(2x) = ln(2*0) = ln(0) = -∞.

Также, cos(0) = 1.

Получаем:

lim x→0 (sin(4x)/cos(4x) * ln(2x)) / x = (1 * -∞) / 1 = -∞.

Ответ: предел равен минус бесконечности.

2. Вычислим предел второго выражения: lim x→3 (2x-6) / (√(x-3) - √(2x-6)).

Для начала, попробуем упростить выражение в знаменателе, умножив и делением на сопряженное значение √(x-3) + √(2x-6):

lim x→3 (2x-6) * (√(x-3) + √(2x-6)) / ((√(x-3) - √(2x-6)) * (√(x-3) + √(2x-6))).

Теперь воспользуемся разностью квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

lim x→3 (2x-6) * (√(x-3) + √(2x-6)) / ((√(x-3))^2 - (√(2x-6))^2).

Теперь упростим дальше:

lim x→3 (2x-6) * (√(x-3) + √(2x-6)) / (x-3 - 2x+6) = lim x→3 (2x-6) * (√(x-3) + √(2x-6)) / (-x+3).

Теперь, сокращаем (x - 3) в числителе и знаменателе:

lim x→3 2 * (√(x-3) + √(2x-6)) / (-1) = -2 * (√(3-3) + √(2*3-6)) = -2 * (√0 + √0) = -2 * (0 + 0) = 0.

Ответ: предел равен 0.

3. Найдем дифференциал функции y = (2x-3)/(x^3-8e^(3x)+4).

Дифференциал функции можно выразить следующим образом:

dy = (df/dx) * dx,

где df/dx - производная функции f(x) по переменной x, а dx - дифференциал переменной x.

Для начала найдем производную функции y по переменной x:

y = (2x-3)/(x^3-8e^(3x)+4).

Применим правило дифференцирования частного:

dy/dx = ( (2 * (x^3-8e^(3x)+4) - (2x-3) * 3x^2) ) / (x^3-8e^(3x)+4)^2.

Теперь у нас есть выражение для производной функции y по x. Для получения дифференциала, мы просто умножаем производную на dx:

dy = ( (2 * (x^3-8e^(3x)+4) - (2x-3) * 3x^2) ) / (x^3-8e^(3x)+4)^2 * dx.

Ответ: dy = ( (2 * (x^3-8e^(3x)+4) - (2x-3) * 3x^2) ) / (x^3-8e^(3x)+4)^2 * dx.