Question

Полное исследование функции y=x^2+1\x-2 Кто знает помогите???

Answer 1

График к задаче на рисунке в приложении.

ДАНО Y=(x²1)/(x-2)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения.

x-2 ≠ 0, Х≠ .

Х∈(-∞;2)∪(2;+∞)

2. Вертикальная асимптота:  Х= 2.  

3. Пересечение с осью Х. x² +1 = 0.  x1 = -1

4. Пересечение с осью У.

Y(0) = (0²+1)/(0-2) = -1/2.

5. Наклонная асимптота.   k = lim(Y(x)/x)

Уравнение асимптоты: Y = x +2.

6. Проверка на чётность.

Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x)

Функция ни четная ни нечетная.

7. Поведение в точке разрыва.

lim(->2-) Y(x) = -∞.

lim(->2+) Y(x) = +∞

8, Первая производная.

$y'(x)=\frac{2x}{x-2}- \frac{x^2+1}{(x-2)^2}$

6. Локальные  экстремумы

x1 = 2-√5 (≈0.24) , x2 = 2+√5 (≈4.24)

Максимум - ? . Минимум - ?.

7. Участки монотонности функции.

Возрастает Х∈(-∞;x1)∪[(x2;+∞).

8. Вторая производная

Точка перегиба  - х = 2.

9. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;2)

Вогнутая - "ложка" - Х∈(2;+∞)

Answer 2

Конечно, помогу с полным исследованием функции $y = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$.

Для начала, давайте рассмотрим область определения функции. Функция $y = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ существует, когда знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Поэтому условие для области определения будет:

$x - 2 \neq 0$

Решим это уравнение:

$x \neq 2$

Таким образом, область определения функции: $D = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь исследуем функцию на промежутках и точках разрыва.

1. Поведение функции на интервале $(-\infty, 2)$: На этом интервале знаменатель $x - 2$ отрицателен, поэтому в данной области функция сохраняет знак числителя $x^2 + 1$. Аналитически, когда $x < 2$, $x^2 + 1 > 0$ (так как квадрат и положительное число дают положительное число). Таким образом, $y > 0$ на интервале $(-\infty, 2)$.

2. Поведение функции на интервале $(2, +\infty)$: На этом интервале знаменатель $x - 2$ положителен, и знак числителя $x^2 + 1$ сохраняется. Аналитически, когда $x > 2$, $x^2 + 1 > 0$. Следовательно, $y > 0$ на интервале $(2, +\infty)$.

3. Разрыв функции в точке $x = 2$: Функция имеет вертикальный разрыв в точке $x = 2$ из-за нулевого знаменателя. Рассмотрим предел функции при $x \to 2$:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

Для нахождения этого предела, воспользуемся правилом Лопиталя или делением числителя и знаменателя на $(x - 2)$:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{x^2 + 1}{x - 2} = \lim_{{x \to 2}} \frac{(x^2 + 1)'}{(x - 2)'} = \lim_{{x \to 2}} \frac{2x}{1} = 2$.

Таким образом, в точке $x = 2$ функция имеет разрыв, но предел существует и равен 2.

4. Знак функции за пределами разрыва: Уже выяснили, что $y > 0$ как на $(-\infty, 2)$, так и на $(2, +\infty)$. Также, из предела при $x \to 2$ следует, что существует нулевая точка в этой точке разрыва.

Таким образом, собирая всю информацию, можно построить график функции $y = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$. Он будет выглядеть примерно следующим образом:

(См. график на следующем ответе)