Question

Разложите на множители(подробно) 3x^(4)-4x^(3)+1

Answer 1

x=1 является корнем этого многочлена, а значит многочлен делиться без остатка на (x-1). Можно делить столбиком, а можно как бы "организовать" везде множитель (x-1) и вынести его за скобку. Вот так:

$3x^4-4x^3+1=3x^4-3x^3-(x^3-1)=3x^3(x-1)-(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)(3x^3-x^2-x-1)$

Многочлен во второй скобке опять делиться на (x-1):

$3x^3-x^2-x-1=3x^3-3x^2+2x^2-2x+x-1=3x^2(x-1)+2x(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x^2+2x+1)$

Дальше разложить не получиться, потому что многочлен $3x^2+2x+1$ не имеет действительных корней.

Окончательно:

$3x^4-4x^3+1=(x-1)^2(3x^2+2x+1)$

Answer 2

Для разложения выражения $3x^4 - 4x^3 + 1$ на множители, мы должны попытаться найти общие множители для каждого члена исходного выражения. В данном случае, мы видим, что каждый член содержит некоторую степень переменной $x$, и у нас есть постоянный член $+1$.

Шаг 1: Попробуем вынести общий множитель у всех членов (если он есть). В данном случае, общий множитель это $1$:

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 1 \cdot (3x^4 - 4x^3 + 1)$

Шаг 2: Проверим, можно ли разложить выражение внутри скобок. Для этого нам понадобится разложить квадратное уравнение $3x^4 - 4x^3 + 1$ на множители.

$3x^4 - 4x^3 + 1$ является квадратным уравнением относительно $x^4$. Попробуем разложить его:

Мы знаем, что разложение квадратного уравнения имеет вид: $ax^2 + bx + c$.

Здесь $a = 3$, $b = -4$, и $c = 1$.

Чтобы разложить его, нам нужно найти два числа, которые умножаются до $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$, и при этом сумма этих чисел равна $b = -4$.

Такие числа это -3 и -1, так как $(-3) + (-1) = -4$ и $(-3) \cdot (-1) = 3$.

Теперь мы можем разложить квадратное уравнение:

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 1 \cdot (3x^4 - 3x^3 - x^3 + 1)$

Шаг 3: Теперь у нас есть четыре члена внутри скобок. Мы можем выделить общий множитель в первых двух и последних двух членах:

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 1 \cdot (3x^3(x - 1) - 1(x - 1))$

Шаг 4: Последний шаг - вынести общий множитель из скобки:

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 1 \cdot (3x^3 - 1)(x - 1)$

Таким образом, разложение на множители выражения $3x^4 - 4x^3 + 1$ будет: $3x^4 - 4x^3 + 1 = (3x^3 - 1)(x - 1)$.