Question

На доске в порядке возрастания записаны натуральные числа от 1 до 2014. Каждую минуту между какими-то двумя соседними числами записывается разность между большим и меньшим из них (а если числа равны, то записывается 0), а исходные числа стираются. Так делается до тех пор, когда на доске останется одно число. Найдите наибольшее возможное значение этого числа.

Answer 1

Оценка:

Докажем, что оставшееся на доске число будет нечётным. Посмотрим, как изменяется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции равна S, а операция проводится над числами a и b и a ≥ b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, результат будет целым, значит, 2b - чётное число. Изначально сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), значит, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a ≥ b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Значит, число, оставшееся на доске, не будет больше самого большого из изначальных чисел. Тогда наибольшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.

Пример:

Рассмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сперва проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), потом над 1 и k+2 (получим k+1), затем над k+1 и k+1 (получим 0), и, наконец, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 подряд стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Теперь проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.

Ответ: 2013.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее возможное значение оставшегося числа, нужно разобраться в последовательности шагов, происходящих при вычислении разностей между соседними числами. Посмотрим, что происходит на первых нескольких шагах:

Шаг 1: Разности между соседними числами (пары) от 1 до 2014:

1-2, 2-3, 3-4, ..., 2012-2013, 2013-2014

Шаг 2: Разности между соседними числами (пары) от 1 до 2013:

1, 1, 1, ..., 1, 1

Как видно из приведенных выше шагов, на каждом шаге пары чисел уменьшаются на единицу, и разности между ними становятся единицами. Это происходит до тех пор, пока не останется одно число.

На каждом шаге количество чисел уменьшается на 1, и разность между соседними числами становится 1. Таким образом, наибольшее возможное значение оставшегося числа будет наименьшим числом в последовательности (так как оно не уменьшается на 1 на первом шаге). Поскольку исходные числа упорядочены по возрастанию, наибольшее возможное значение оставшегося числа будет 1.

Ответ: Наибольшее возможное значение оставшегося числа - 1.