Question

При каких значениях a неравенство x^2−5x+a>0 справедливо при всех x?

Answer 1

18_03_09_Задание № 5:

При каких значениях a неравенство x^2−5x+a>0 справедливо при всех x?

РЕШЕНИЕ: Так как у=x^2−5x+a парабола ветвями вверх, то если она же не будет иметь общих точек с осью х, то условие будет выполнено

x^2−5x+a=0

D=(-5)^2-4*1*a=25-4a<0

4a>25

a>6.25

ОТВЕТ: a>6.25

Answer 2

Для того чтобы неравенство $x^2 - 5x + a > 0$ выполнялось для всех значений $x$, дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть отрицательным.

Дискриминант $D$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ равен $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a = 1$, $b = -5$, $c = a$.

Условие для того, чтобы $D < 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a < 0$

$25 - 4a < 0$

Теперь найдем, при каких значениях $a$ это неравенство выполнено:

$25 < 4a$

$a > \frac{25}{4}$

Таким образом, неравенство $x^2 - 5x + a > 0$ верно для всех $x$, если $a$ принимает значения больше $\frac{25}{4}$.