Question

В ряд выписаны 45 чисел, сумма любых пяти подряд идущих больше 12, а сумма любых девяти подряд идущих меньше 22. Известно, что сумма всех написанных чисел является натуральным числом. Каким?

Answer 1

Разбиваем на пятерки: с 1 по 5, с 6 по 10, с 11 по 15 и так далее. Таких групп 9, сумма каждой больше 12, вся сумма больше 108.

Аналогично разбиваем на девятки, таких групп 5, сумма каждой меньше 22, вся сумма меньше 110.

Раз сумма целое, то единственное целой больше 108 и меньше 11- это число 109.

Ответ: 109.

Answer 2

Давайте обозначим ряд чисел как a1, a2, ..., a45.

Условие гласит, что сумма любых пяти подряд идущих чисел больше 12:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 > 12 a2 + a3 + a4 + a5 + a6 > 12 ... a41 + a42 + a43 + a44 + a45 > 12

И также, что сумма любых девяти подряд идущих чисел меньше 22:

a1 + a2 + ... + a9 < 22 a2 + a3 + ... + a10 < 22 ... a37 + a38 + ... + a45 < 22

Теперь давайте объединим эти условия, чтобы найти ограничение на сумму каждых четырех чисел:

(a1 + a2 + a3 + a4 + a5) + (a6 + a7 + a8 + a9) > 12 + 22 (a6 + a7 + a8 + a9 + a10) + (a11 + a12 + a13 + a14) > 12 + 22 ... (a37 + a38 + a39 + a40 + a41) + (a42 + a43 + a44 + a45) > 12 + 22

Теперь у нас есть следующее ограничение:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + ... + a41 + a42 + a43 + a44 + a45 > 34 * 12 + 8 * 22 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + ... + a41 + a42 + a43 + a44 + a45 > 408 + 176 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + ... + a41 + a42 + a43 + a44 + a45 > 584

Теперь заметим, что каждое число a_i участвует в девяти подряд идущих суммах. Всего чисел 45, и каждое число участвует в 5 пятикратных суммах и в 9 девятимерных суммах, а также оно учтено один раз в полной сумме всех чисел. Таким образом, мы можем записать:

5 * (a1 + a2 + ... + a45) + a1 + a2 + ... + a45 < 584

Упростим:

6 * (a1 + a2 + ... + a45) < 584 a1 + a2 + ... + a45 < 97.33

Таким образом, сумма всех 45 чисел является натуральным числом и не превышает 97.33.

Поскольку все числа даны в ряду, и мы не знаем их конкретных значений, нам не удастся точно определить сумму всех 45 чисел. Однако, мы знаем, что она будет меньше 98 (так как 97.33 является наибольшей возможной суммой).