Question

Решить дифференциальное уравнение первого порядка y(1+x)dx+x(1-y)dy=0

Answer 1

$y(x+1)dx+x(1-y)dy=0\\\\\int \frac{(x+1)dx}{x}=-\int \frac{(1-y)dy}{y}\\\\\int (1+\frac{1}{x})dx=\int (1-\frac{1}{y})dy\\\\x+ln|x|=y-ln|y|+C$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Чтобы это сделать, следует переписать уравнение в виде, где все y-связанные члены перемещаются на одну сторону, а все x-связанные члены на другую сторону:

$y(1+x)dx + x(1-y)dy = 0$

Делаем перестановку слагаемых:

$y(1+y)dy = -x(1+x)dx$

Теперь можно разделить переменные и проинтегрировать обе стороны уравнения:

$\int y(1+y)dy = -\int x(1+x)dx$

Вычисляем интегралы:

$\int y(1+y)dy = \int (x^2 + x)dx$

$\frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$y(x) = \sqrt[3]{\frac{2}{3}(x^3+x^2+C)} - 1$

где C - произвольная постоянная.